Considere um par de difusão entre tungstênio puro e uma liga de tungstênio contendo 1 \% atômico de tório. Após alguns minutos de exposição a 2000^{\circ} \mathrm{C}, uma zona de transição com 0,01 \mathrm{~cm} de espessura é estabelecida. Qual é o fluxo de átomos de tório nesse momento, se a difusão ocorrer por:
(b) difusão ao longo dos contornos de grão

Passo 1

O enunciado descreve um contato (“diffusion couple”) entre tungstênio puro e uma liga de tungstênio contendo 1 % atômico de tório, mantido a 2000\,^\circ\mathrm{C} por alguns minutos, até que se forme uma zona de transição de espessura \Delta x=0,01\\ \mathrm{cm}. Queremos calcular, nesse instante, o fluxo de átomos de tório supondo que a difusão se dá preferencialmente ao longo dos contornos de grão (mecanismo de difusão em contorno de grão).

Passo 2

Devemos usar a lei de Fick para fluxo estacionário unidimensional ao longo do contorno de grão:
J = -D_{\rm gb}\,\frac{\Delta C}{\Delta x}\,,
onde
J é o fluxo de átomos de tório (em a t\cdot c m^{-} ^{2}\cdot s^{-}¹),
D_{\rm gb} é o coeficiente de difusão efetivo ao longo do contorno de grão (em c m^{2}/s),
\Delta C é a variação de concentração em fração atômica,
\Delta x=0,01\\ \mathrm{cm} é a espessura da zona de transição.

Passo 3

A variação de concentração em fração atômica vai de 1 % (lado da liga) a 0 % (lado do tungstênio puro), logo
\frac{\Delta C}{\Delta x}=\frac{0{,}00-0{,}01}{0{,}01\\ \mathrm{cm}} =-1\\ \text{(fração atômica)}/\mathrm{cm}\,.çãô

Passo 4

Para D_{\rm gb} usamos o modelo clássico de difusão em contorno de grão:
D_{\rm gb}=\delta\,D_{\rm bulk} \quad\text{com}\quad D_{\rm bulk}=D_{0}\,\exp\!\Bigl(-\frac{Q}{R\,T}\Bigr)\,,
onde
\delta é a espessura ativa do contorno de grão \sim5\times10^{-8}\\ \mathrm{cm},
D_{0} é o fator pré-exponencial para difusão no retículo (tomado aqui como D_{0}=0{,}1\\ \mathrm{cm^2/s}),
Q é a energia de ativação no contorno de grão (tipicamente Q\approx1{,}3\times10^{5}\\ \mathrm{J/mol}),
R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)},
T=2000\,^\circ\mathrm{C}=2273\\ \mathrm{K}.
Calculamos primeiro
D_{\rm bulk} =0{,}1\;\exp\!\biggl(-\frac{1{,}3\times10^{5}}{8{,}314\times2273}\biggr) \approx0{,}1\;\exp(-6{,}88) \approx1{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{cm^2/s}\,.
Logo
D_{\rm gb} =\delta\,D_{\rm bulk} =5\times10^{-8}\times1{,}0\times10^{-4} =5{,}0\times10^{-12}\\ \mathrm{cm^2/s}\,.

Passo 5

Substituindo em J:
J = -D_{\rm gb}\,\frac{\Delta C}{\Delta x} =-\bigl(5{,}0\times10^{-12}\bigr)\times(-1) =5{,}0\times10^{-12}\\ \frac{\text{fração atômica}}{\mathrm{cm^2\cdot s}}.çãô
Para converter em átomos por \mathrm{cm^2\cdot s}, multiplicamos pela densidade atômica do tungstênio, N\approx6,3\times10^{22}\\ \mathrm{átomos/cm^3}á:
J_{\rm átomos} =5{,}0\times10^{-12}\times6{,}3\times10^{22} \approx3{,}2\times10^{11}\\ \frac{\text{átomos}}{\mathrm{cm^2\cdot s}}.áá

Resposta

O fluxo de átomos de tório ao longo dos contornos de grão em 2000\,^\circ\mathrm{C} é
\boxed{J\approx3\times10^{11}\\ \frac{\text{átomos}}{\mathrm{cm^2\cdot s}}.}á

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