Considere a parábola que passa pelo ponto e cujas retas tangentes em e têm inclinações 6 e -14 , respectivamente. Determine os valores de e .
Passo 1
A gente tem uma parábola dada por . Sabemos que ela passa pelo ponto e que as tangentes nos pontos com abscissas e têm inclinações 6 e -14. O conteúdo envolvido é derivada de função polinomial (pra achar a inclinação da reta tangente) e resolução de sistema linear.
Passo 2
A inclinação da reta tangente a em qualquer é dada pela derivada . Então, exigindo as inclinações fornecidas, montamos duas equações: para temos , isto é ; para temos , isto é .
Como a parábola também passa por , temos , ou seja . Então o sistema é:
Passo 3
Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar b: (8a+b)-(-2a+b)=-14-6 dá 10a=-20 e, portanto, a=-2. Substituindo em -2a+b=6 resulta em -2(-2)+b=6, logo 4+b=6 e b=2.
Passo 4
Finalmente, usando a+b+c=4 com a=-2 e b=2, temos -2+2+c=4 o que dá c=4.