Considere a parábola y=a x^2+b x+c que passa pelo ponto (1,4) e cujas retas tangentes em x=-1 e x=4 têm inclinações 6 e -14 , respectivamente. Determine os valores de a, b e c.

Passo 1

A gente tem uma parábola dada por y = a x^2 + b x + c. Sabemos que ela passa pelo ponto (1,4) e que as tangentes nos pontos com abscissas x=-1 e x=4 têm inclinações 6 e -14. O conteúdo envolvido é derivada de função polinomial (pra achar a inclinação da reta tangente) e resolução de sistema linear.

Passo 2

A inclinação da reta tangente a y = a x^2 + b x + c em qualquer x é dada pela derivada y' = 2a x + b. Então, exigindo as inclinações fornecidas, montamos duas equações: para x=-1 temos 2a(-1)+b=6, isto é -2a+b=6; para x=4 temos 2a(4)+b=-14, isto é 8a+b=-14.
Como a parábola também passa por (1,4), temos acdot1^2 + bcdot1 + c = 4, ou seja a+b+c=4. Então o sistema é: -2a + b = 68a + b = -14a + b + c = 4

Passo 3

Subtraindo a primeira equação da segunda para eliminar b: (8a+b)-(-2a+b)=-14-6 10a=-20 e, portanto, a=-2. Substituindo em -2a+b=6 resulta em -2(-2)+b=6, logo 4+b=6 e b=2.

Passo 4

Finalmente, usando a+b+c=4 com a=-2 e b=2, temos -2+2+c=4 o que dá c=4.

Resposta

a = -2, b = 2, c = 4

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