Seja
. Então :
Esboce as curvas de nível para
.
Esboce as curvas de nível para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisa desenhar as curvas de nível para
e
. Isso faz parte do conteúdo de funções de várias variáveis e curvas de nível. Vamos precisar entender como transformar a equação da função em uma equação de uma curva no plano
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos
que dão o mesmo valor para a função
. Ou seja, para um valor específico de
, a curva de nível é a solução de
. Isso ajuda a visualizar como a função se comporta no espaço.
Passo 3
Vamos começar configurando a equação
com os valores de
dados. Então, temos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para isolarmos os termos com
e
:
Essa é a equação geral das curvas de nível. Dependendo do valor de
, vamos ter diferentes tipos de curvas.
Passo 5
Observando a equação
, percebemos que ela representa uma elipse, desde que
. Isso significa que
deve estar no intervalo
.
Passo 6
Vamos agora substituir os valores de
para encontrar as equações das curvas de nível:
-
Para
: Dividindo ambos os lados por 36 para deixar na forma padrão: -
Para
: Então, -
Para
: Assim, -
Para
: Isso só é possível see , ou seja, o ponto .
Resposta
As curvas de nível são:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
: