Seja f(x, y)=raiz36-9 x^2-4 y^2. Então :
Esboce as curvas de nível para z=0, z=1, z=2 e z=6.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa desenhar as curvas de nível para e . Isso faz parte do conteúdo de funções de várias variáveis e curvas de nível. Vamos precisar entender como transformar a equação da função em uma equação de uma curva no plano .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Curvas de nível são conjuntos de pontos que dão o mesmo valor para a função . Ou seja, para um valor específico de , a curva de nível é a solução de . Isso ajuda a visualizar como a função se comporta no espaço.

Passo 3

Vamos começar configurando a equação raiz36 - 9x^2 - 4y^2 = z com os valores de 36 - 9x^2 - 4y^2 = z^2 dados. Então, temos:
Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para isolarmos os termos com 9x^2 + 4y^2 = 36 - z^2 e :
Essa é a equação geral das curvas de nível. Dependendo do valor de , vamos ter diferentes tipos de curvas.

Passo 5

Observando a equação , percebemos que ela representa uma elipse, desde que . Isso significa que deve estar no intervalo .

Passo 6

Vamos agora substituir os valores de 9x^2 + 4y^2 = 36 para encontrar as equações das curvas de nível:
  1. Para x^24 + y^29 = 1 :
    9x^2 + 4y^2 = 36 - 1 = 35
    Dividindo ambos os lados por 36 para deixar na forma padrão:
    x^2359 + y^2354 = 1
  2. Para 9x^2 + 4y^2 = 36 - 4 = 32 :
    x^2329 + y^2324 = 1
    Então,
    9x^2 + 4y^2 = 36 - 36 = 0
  3. Para :
    Assim,
  4. Para :
    Isso só é possível se e , ou seja, o ponto .

Resposta

As curvas de nível são:
  1. Para x^24 + y^29 = 1 : x^2359 + y^2354 = 1
  2. Para x^2329 + y^2324 = 1 : (0, 0)
  3. Para :
  4. Para :

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