Considere a hélice
parametrizada por
;
e o campo vetorial
Calcule
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos analisar o que a questão tá pedindo. Temos uma hélice
parametrizada por para
entre 0 e 2. Além disso, temos um campo vetorial
. O objetivo é calcular a integral de linha
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha de campos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização
em relação a
, que é
. Isso vai nos dar o vetor tangente à curva em cada ponto.
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos avaliar o campo vetorial
na parametrização da curva, ou seja, calcular
.
Substituindo
, e
em
:
Passo 4
Agora, fazemos o produto escalar entre
e
:
Simplificando cada termo:
Perceba que (identidade trigonométrica).
Então:
Passo 5
Agora, vamos integrar
em relação a
de 0 a 2:
Resposta
A integral de linha
vale
.