Considere a hélice C10 parametrizada por varphi(t)=(cos (pi t), sen(pi t), t);
t in[0,2] e o campo vetorial F(x, y)=(-z y, z x, pi z)
Calcule integralC10 F cdot d r

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão tá pedindo. Temos uma hélice parametrizada por para entre 0 e 2. Além disso, temos um campo vetorial . O objetivo é calcular a integral de linha . Para resolver isso, vamos usar o conceito de parametrização de curvas e cálculo de integrais de linha de campos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da parametrização varphi(t) = (cos(pi t), sen(pi t), t) varphi'(t) = ( -pi sen(pi t), pi cos(pi t), 1 ) em relação a , que é . Isso vai nos dar o vetor tangente à curva em cada ponto.
Calculando:

Passo 3

Agora, vamos avaliar o campo vetorial F(varphi(t)) = F(cos(pi t), sen(pi t), t) = (-t cdot sen(pi t), t cdot cos(pi t), pi t) na parametrização da curva, ou seja, calcular .
Substituindo , e em :

Passo 4

Agora, fazemos o produto escalar entre F(varphi(t)) cdot varphi'(t) = (-t sen(pi t)) cdot (-pi sen(pi t)) + (t cos(pi t)) cdot (pi cos(pi t)) + (pi t) cdot 1 e = pi t sen^2(pi t) + pi t cos^2(pi t) + pi t :
Simplificando cada termo:
Perceba que (identidade trigonométrica).
Então:
F(varphi(t)) cdot varphi'(t) = pi t (1) + pi t = 2pi t

Passo 5

Agora, vamos integrar integral0^2 2pi t , dt = 2pi integral0^2 t , dt = 2pi [ t^22 ]0^2 = 2pi ( 42 - 0 ) = 2pi cdot 2 = 4pi em relação a de 0 a 2:

Resposta

A integral de linha vale .

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