Resolva as seguintes integrais:
integral-infty^infty e^-|x| d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está relacionado com cálculo de integrais, mais especificamente com integrais impróprias porque os limites são infinitos. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com o valor absoluto na função exponencial e como calcular integrais definidas sobre intervalos infinitos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dentro da integral, integral-infty^infty e^-|x| , dx = 2 integral0^infty e^-x , dx . O valor absoluto faz com que a função seja simétrica em relação ao eixo y, ou seja, é uma função par. Isso significa que podemos simplificar a integral de a dobrando a integral de 0 a :

Passo 3

Agora, vamos focar na integral integral0^infty e^-x , dx = limb to infty integral0^b e^-x , dx . Essa é uma integral imprópria porque o limite superior é infinito. Para resolver, usamos o conceito de limite:

Passo 4

Calculando a integral definida:
integral0^b e^-x , dx = [ -e^-x ]0^b = -e^-b - (-e^0) = -e^-b + 1

Passo 5

Agora, aplicamos o limite quando limb to infty (-e^-b + 1) = -0 + 1 = 1 tende ao infinito:

Passo 6

Voltando à nossa expressão original:
integral-infty^infty e^-|x| , dx = 2 times 1 = 2

Resposta

O valor da integral é .

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