Considere a parábola C_{3}, parametrizada por \varphi, e a função escalar f
\varphi(t)=\left(t^{2}, t\right), t \in[0,2] ; f(x, y)=\sqrt{1+4 x}
Calcule \int_{C_{3}} f d r

Passo 1

O enunciado dá a parábola C_{3} parametrizada por \varphi e a função escalar f. Precisamos calcular a integral de linha escalar \int_{C_{3}} f\,dr. Informações dadas:
\varphi(t)=\big(t^{2},t\big),\quad t\in[0,2],
f(x,y)=\sqrt{1+4x}.
Pergunta: calcular o valor numérico de \displaystyle\int_{C_{3}} f\,dr.

Passo 2

Explico a fórmula que vamos usar: para uma curva parametrizada por \varphi(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral escalar de uma função f(x,y) em relação ao comprimento de arco é
\int_{C} f\,ds = \int_{a}^{b} f\big(\varphi(t)\big)\,\big\|\varphi'(t)\big\|\,dt.
Aqui \varphi'(t) é a derivada componente a componente, e \big\|\varphi'(t)\big\| é a velocidade (módulo do vetor velocidade), que representa o fator de conversão ds = \big\|\varphi'(t)\big\|dt. Ou seja:
x(t)=t^{2},\quad y(t)=t,\quad \varphi'(t)=\big(x'(t),y'(t)\big).

Passo 3

Avalio f na parametrização: substituir x=t^{2} em f(x,y)=\sqrt{1+4x}. Assim
f\big(\varphi(t)\big)=\sqrt{1+4t^{2}}.

Passo 4

Calculo \varphi'(t) e sua norma. Derivando componente a componente:
\varphi'(t)=\big(2t,\,1\big).
A norma (velocidade) é
\big\|\varphi'(t)\big\|=\sqrt{(2t)^{2}+1^{2}}=\sqrt{4t^{2}+1}.
Expliquei: somamos os quadrados das componentes e extraímos a raiz para obter o comprimento do vetor velocidade.

Passo 5

Formo o integrando usando a fórmula do Passo 2:
f\big(\varphi(t)\big)\,\big\|\varphi'(t)\big\| =\sqrt{1+4t^{2}}\cdot\sqrt{4t^{2}+1}.
Observe que as duas raízes são iguais, logo o produto é
\sqrt{1+4t^{2}}\cdot\sqrt{1+4t^{2}}=1+4t^{2}.

Passo 6

Agora escrevo a integral em t e calculo:
\int_{C_{3}} f\,dr = \int_{0}^{2}\big(1+4t^{2}\big)\,dt.
Calculo a primitiva: uma primitiva de 1 é t; uma primitiva de 4t^{2} é \tfrac{4}{3}t^{3}. Portanto
\int_{0}^{2}\big(1+4t^{2}\big)\,dt=\left[t+\tfrac{4}{3}t^{3}\right]_{0}^{2}.

Passo 7

Avalio a primitiva nos limites:
\left[t+\tfrac{4}{3}t^{3}\right]_{0}^{2}=\Big(2+\tfrac{4}{3}\cdot 2^{3}\Big)-\Big(0+\tfrac{4}{3}\cdot 0^{3}\Big) =2+\tfrac{4}{3}\cdot 8.
Calculando \tfrac{4}{3}\cdot 8=\tfrac{32}{3}, então
2+\tfrac{32}{3}=\tfrac{6}{3}+\tfrac{32}{3}=\tfrac{38}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{38}{3}

Exercícios relacionados