Considere a parábola C_{3}, parametrizada por \varphi, e a função escalar f \varphi(t)=\left(t^{2}, t\right), t \in[0,2] ; f(x, y)=\sqrt{1+4 x}
Calcule \int_{C_{3}} f d r
Passo 1
O enunciado dá a parábola C_{3} parametrizada por \varphi e a função escalar f. Precisamos calcular a integral de linha escalar \int_{C_{3}} f\,dr. Informações dadas:
\varphi(t)=\big(t^{2},t\big),\quad t\in[0,2],
f(x,y)=\sqrt{1+4x}.
Pergunta: calcular o valor numérico de \displaystyle\int_{C_{3}} f\,dr.
Passo 2
Explico a fórmula que vamos usar: para uma curva parametrizada por \varphi(t)=(x(t),y(t)), t\in[a,b], a integral escalar de uma função f(x,y) em relação ao comprimento de arco é
Aqui \varphi'(t) é a derivada componente a componente, e \big\|\varphi'(t)\big\| é a velocidade (módulo do vetor velocidade), que representa o fator de conversão ds = \big\|\varphi'(t)\big\|dt. Ou seja: