Considere a trajetória na elipse
, parametrizada por
e o ponto
Calcule a velocidade escalar e vetorial, e a aceleração vetorial no ponto
Calcule a velocidade escalar e vetorial, e a aceleração vetorial no ponto
Passo 1
O enunciado dá a parametrização da curva elíptica
por
e o ponto
As perguntas são: calcular (1) a velocidade vetorial no ponto
, (2) a velocidade escalar (isto é, o módulo da velocidade) no ponto
, e (3) a aceleração vetorial no ponto
. Primeiro precisamos identificar o(s) valor(es) de
que geram o ponto
.
Passo 2
Encontrar
tal que
. Isso equivale ao sistema
Dividindo a primeira por
e a segunda por
obtemos
Qual
satisfaz simultaneamente essas duas igualdades? Sabemos os ângulos usuais:
Portanto
(com
) são as soluções compatíveis. Para avaliar velocidades e aceleração escolhemos
.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade vetorial
derivando componente a componente. Regras usadas:
- derivada de
é , - derivada de
é , - derivada de uma constante multiplicando a função é a constante vezes a derivada da função.
Aplicando isso aobtemos
Isto é a velocidade vetorial para qualquer
.
Passo 4
Avaliar a velocidade vetorial em
. Usamos
e
. Então
Essa é a velocidade vetorial no ponto
.
Passo 5
Agora a velocidade escalar (ou rapidez) é o módulo do vetor velocidade. Para um vetor
o módulo é
. Aplicando ao nosso caso:
Calculemos passo a passo:
Somando:
Tirando raiz:
Passo 6
Para a aceleração vetorial derivamos a velocidade vetorial em
. Já temos
. Derivando componente a componente:
pois a derivada de
é
e a derivada de
é
.
Passo 7
Avaliar a aceleração em
. Usando
e
obtemos
Esse é o vetor aceleração no ponto
.
Resposta
Velocidade vetorial:
Velocidade escalar:
Aceleração vetorial:
Velocidade escalar:
Aceleração vetorial: