Considere a trajetória na elipse C_{2}, parametrizada por \varphi e o ponto A
\varphi(\theta)=(2 \cos (\theta), 3 \operatorname{sen}(\theta)) ; A=\left(\sqrt{3}, \frac{3}{2}\right)
Calcule a velocidade escalar e vetorial, e a aceleração vetorial no ponto A

Passo 1

O enunciado dá a parametrização da curva elíptica C_{2} por
\varphi(\theta)=\bigl(2\cos\theta,\;3\sin\theta\bigr)
e o ponto
A=\left(\sqrt{3},\;\frac{3}{2}\right).
As perguntas são: calcular (1) a velocidade vetorial no ponto A, (2) a velocidade escalar (isto é, o módulo da velocidade) no ponto A, e (3) a aceleração vetorial no ponto A. Primeiro precisamos identificar o(s) valor(es) de \theta que geram o ponto A.

Passo 2

Encontrar \theta tal que \varphi(\theta)=A. Isso equivale ao sistema
2\cos\theta=\sqrt{3},\qquad 3\sin\theta=\frac{3}{2}.
Dividindo a primeira por 2 e a segunda por 3 obtemos
\cos\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{1}{2}.
Qual \theta satisfaz simultaneamente essas duas igualdades? Sabemos os ângulos usuais:
\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}.
Portanto \theta=\frac{\pi}{6}+2k\pi (com k\in\mathbb{Z}) são as soluções compatíveis. Para avaliar velocidades e aceleração escolhemos \theta=\frac{\pi}{6}.

Passo 3

Vamos calcular a velocidade vetorial \varphi'(\theta) derivando componente a componente. Regras usadas:
  • derivada de \cos\theta é -\sin\theta,
  • derivada de \sin\theta é \cos\theta,
  • derivada de uma constante multiplicando a função é a constante vezes a derivada da função.
    Aplicando isso a \varphi(\theta)=\bigl(2\cos\theta,\;3\sin\theta\bigr) obtemos
\varphi'(\theta)=\bigl(-2\sin\theta,\;3\cos\theta\bigr).
Isto é a velocidade vetorial para qualquer \theta.

Passo 4

Avaliar a velocidade vetorial em \theta=\frac{\pi}{6}. Usamos \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} e \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}. Então
\varphi'\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\bigl(-2\cdot\tfrac{1}{2},\;3\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2}\bigr)=\bigl(-1,\;\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr).
Essa é a velocidade vetorial no ponto A.

Passo 5

Agora a velocidade escalar (ou rapidez) é o módulo do vetor velocidade. Para um vetor \bigl(v_x,v_y\bigr) o módulo é \sqrt{v_x^2+v_y^2}. Aplicando ao nosso caso:
\|\varphi'\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)\|=\sqrt{\bigl(-1\bigr)^2+\bigl(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr)^2}.
Calculemos passo a passo:
(-1)^2=1,\qquad \left(\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{9\cdot 3}{4}=\frac{27}{4}.
Somando:
1+\frac{27}{4}=\frac{4}{4}+\frac{27}{4}=\frac{31}{4}.
Tirando raiz:
\|\varphi'\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)\|=\sqrt{\frac{31}{4}}=\frac{\sqrt{31}}{2}.

Passo 6

Para a aceleração vetorial derivamos a velocidade vetorial em \theta. Já temos \varphi'(\theta)=\bigl(-2\sin\theta,\;3\cos\theta\bigr). Derivando componente a componente:
\varphi''(\theta)=\bigl(-2\cos\theta,\;-3\sin\theta\bigr),
pois a derivada de -2\sin\theta é -2\cos\theta e a derivada de 3\cos\theta é -3\sin\theta.

Passo 7

Avaliar a aceleração em \theta=\frac{\pi}{6}. Usando \cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} e \sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2} obtemos
\varphi''\!\left(\frac{\pi}{6}\right)=\bigl(-2\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2},\;-3\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)=\bigl(-\sqrt{3},\;-\tfrac{3}{2}\bigr).
Esse é o vetor aceleração no ponto A.

Resposta

Velocidade vetorial: \varphi'\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\bigl(-1,\;\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\bigr)
Velocidade escalar: \|\varphi'\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)\|=\dfrac{\sqrt{31}}{2}
Aceleração vetorial: \varphi''\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)=\bigl(-\sqrt{3},\;-\tfrac{3}{2}\bigr)

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