Considere o parabolóide
S=(x, y, z) in R^3 ; z=x^2+y^2, x^2+y^2 <= 1
Parametrize S usando coordenadas cartesianas.

Passo 1

O enunciado nos pede para parametrizar o paraboloide S=(x,y,z)inR^3;,z=x^2+y^2,,x^2+y^2<=1. O conteúdo é parametrização de superfícies dadas como gráfico de uma função z=f(x,y), e vamos usar coordenadas cartesianas no plano (x,y).

Passo 2

Quando uma superfície é dada por z=f(x,y), uma escolha natural de parametrização é usar diretamente x e y como parâmetros. Assim, definimos r(x,y)=(x,y,f(x,y)), com (x,y) variando sobre o domínio no plano.

Passo 3

Aqui temos f(x,y)=x^2+y^2 e o domínio D=(x,y):x^2+y^2<=1. Logo, a parametrização fica: r(x,y)=l(x,,y,,x^2+y^2r),(x,y)in D

Resposta

A parametrização é
r(x,y)=(x,y,x^2+y^2), (x,y)in(x,y)inR^2: x^2+y^2<=1

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