Considere o parabolóide
S=(x, y, z) in R^3 ; z=x^2+y^2, x^2+y^2 <= 1
b) Parametrize S usando coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a superfície S definida por z = x² + y² sobre o disco x² + y² ≤ 1. O conteúdo aqui é parametrização de superfícies usando coordenadas cilíndricas, então vamos usar parâmetros (r,θ).

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos as expressões
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z
Para nossa superfície, substituímos z = x² + y² e obtemos z = r².

Passo 3

Assim a parametrização da superfície S em função de (r,θ) fica

Passo 4

Finalmente definimos o domínio dos parâmetros: r varia de 0 a 1 (para cobrir o disco x² + y² ≤ 1) e θ varia de 0 a 2π (para dar a volta completa).

Resposta

r(r,theta) = l(rcostheta,;rsintheta,;r^2r), 0 <= r <= 1,;0 <= theta < 2pi

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