4^a Questão: (15 pontos) Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto do plano x+y-z=1 cuja distância ao ponto (0,0,2) seja mínima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar o ponto no plano $ x + y - z = 1 $ que está mais próximo do ponto $ (0, 0, 2) $. Basicamente, vamos minimizar a distância entre dois pontos, mas com uma restrição que é o plano dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula:
D = raiz(x - 0)^2 + (y - 0)^2 + (z - 2)^2 = raizx^2 + y^2 + (z - 2)^2
Mas pra facilitar a matemática, vamos minimizar o quadrado da distância, já que a raiz não afeta o ponto mínimo:
D^2 = x^2 + y^2 + (z - 2)^2

Passo 3

Agora, nossa função objetivo é $ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + (z - 2)^2 $, e a restrição é o plano $ g(x, y, z) = x + y - z - 1 = 0 $.
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que, no mínimo, o gradiente de $ f $ é um múltiplo do gradiente de $ g $:
f(x, y, z) = x^2 + y^2 + (z - 2)^2
Onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.

Passo 4

Vamos calcular os gradientes:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y, partial fpartial z ) = (2x, 2y, 2(z - 2))
nabla g = ( partial gpartial x, partial gpartial y, partial gpartial z ) = (1, 1, -1)
Então, a equação $ \nabla f = \lambda \nabla g $ fica:
nabla f = lambda nabla g
2x = lambda cdot 1 (1)
2y = lambda cdot 1 (2)

Passo 5

Além disso, temos a restrição do plano:
x + y - z = 1 (4)
Agora, vamos resolver essas equações.

Passo 6

Das equações (1) e (2), vemos que:
2x = lambda Rightarrow lambda = 2x
2y = lambda Rightarrow lambda = 2y
Portanto, $ 2x = 2y $ $\Rightarrow x = y $.

Passo 7

Agora, vamos da equação (3):
2(z - 2) = -lambda Rightarrow 2z - 4 = -lambda
Sabemos que $ \lambda = 2x $, então substituímos:
lambda = 2x

Passo 8

Agora, usamos a restrição do plano (equação 4):
x + y - z = 1
Sabemos que $ x = y $ e $ z = -x + 2 $, então substituímos:
x = y

Passo 9

Com $ x = 1 $, então $ y = x = 1 $, e $ z = -1 + 2 = 1 $.

Resposta

O ponto no plano $ x + y - z = 1 $ que está mais próximo de $ (0, 0, 2) $ é $ (1, 1, 1) $.

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