Questão: (15 pontos) Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar o ponto do plano
cuja distância ao ponto
seja mínima.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa usar o método dos multiplicadores de Lagrange para achar o ponto no plano $ x + y - z = 1 $ que está mais próximo do ponto $ (0, 0, 2) $. Basicamente, vamos minimizar a distância entre dois pontos, mas com uma restrição que é o plano dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distância entre dois pontos no espaço é dada pela fórmula:
Mas pra facilitar a matemática, vamos minimizar o quadrado da distância, já que a raiz não afeta o ponto mínimo:
Passo 3
Agora, nossa função objetivo é $ f(x, y, z) = x^2 + y^2 + (z - 2)^2 $, e a restrição é o plano $ g(x, y, z) = x + y - z - 1 = 0 $.
O método dos multiplicadores de Lagrange diz que, no mínimo, o gradiente de $ f $ é um múltiplo do gradiente de $ g $:
Onde $ \lambda $ é o multiplicador de Lagrange.
Passo 4
Vamos calcular os gradientes:
Então, a equação $ \nabla f = \lambda \nabla g $ fica:
Passo 5
Além disso, temos a restrição do plano:
Agora, vamos resolver essas equações.
Passo 6
Das equações (1) e (2), vemos que:
Portanto, $ 2x = 2y $ $\Rightarrow x = y $.
Passo 7
Agora, vamos da equação (3):
Sabemos que $ \lambda = 2x $, então substituímos:
Passo 8
Agora, usamos a restrição do plano (equação 4):
Sabemos que $ x = y $ e $ z = -x + 2 $, então substituímos:
Passo 9
Com $ x = 1 $, então $ y = x = 1 $, e $ z = -1 + 2 = 1 $.
Resposta
O ponto no plano $ x + y - z = 1 $ que está mais próximo de $ (0, 0, 2) $ é $ (1, 1, 1) $.