Encontre a derivada da função dada pela composição das seguintes funções:
e
;
Passo 1
O enunciado pede para achar a derivada de uma função composta de duas variáveis f(x,y)=x²y com uma curva r(t)=(e^{2t},1−t³). O conteúdo é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar do gradiente de f e da derivada de r(t).
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de f. Temos
Então o gradiente é ∇f(x,y)=(2xy, x²).
Passo 3
Agora derivamos r(t). Como r(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=e^{2t} e y(t)=1−t³,
Logo r’(t)=(2e^{2t}, -3t²).
Passo 4
Aplicamos a Regra da Cadeia: d/dt[f(r(t))]=∇f(x(t),y(t))⋅r’(t). Substituindo x(t) e y(t):
Passo 5
Fazendo o produto escalar e simplificando: