Encontre a derivada da função dada pela composição das seguintes funções:
f(x, y)=x^2 y e r(t)=(e^2 t, 1-t^3);

Passo 1

O enunciado pede para achar a derivada de uma função composta de duas variáveis f(x,y)=x²y com uma curva r(t)=(e^{2t},1−t³). O conteúdo é a Regra da Cadeia para funções de várias variáveis, e vamos precisar do gradiente de f e da derivada de r(t).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Temos
partial fpartial x(x,y)=2xy
partial fpartial y(x,y)=x^2
Então o gradiente é ∇f(x,y)=(2xy, x²).

Passo 3

Agora derivamos r(t). Como r(t)=(x(t),y(t)) com x(t)=e^{2t} e y(t)=1−t³,
x'(t)=2e^2t
y'(t)=-3t^2
Logo r’(t)=(2e^{2t}, -3t²).

Passo 4

Aplicamos a Regra da Cadeia: d/dt[f(r(t))]=∇f(x(t),y(t))⋅r’(t). Substituindo x(t) e y(t):
ddtf(r(t))=(2,x(t),y(t),,x(t)^2)cdot(x'(t),y'(t))
=(2e^2t(1-t^3),,e^4t)cdot(2e^2t,-3t^2)

Passo 5

Fazendo o produto escalar e simplificando:
4e^4t(1-t^3)-3t^2e^4t=e^4tl(4(1-t^3)-3t^2r)
=e^4t(4-4t^3-3t^2)

Resposta

ddtf(r(t))=e^4t,(4-3t^2-4t^3)

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