1. Considere um paralelepípedo retangular de tamanho 2 \mathrm{~cm} \times 3 \mathrm{~cm} \times 4 \mathrm{~cm}. Encontre o ângulo entre a maior diagonal com a aresta de tamanho 4 cm .

Passo 1

O enunciado dá um paralelepípedo retangular com arestas de comprimentos 2,cm, 3,cm e 4,cm e pede o ângulo entre a diagonal principal e a aresta de 4,cm. Para isso vamos usar geometria analítica no espaço: representar os segmentos por vetores e aplicar produto escalar.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas em que as arestas coincidam com os eixos x, y e z. Assim a diagonal principal corresponde ao vetor
\mathbf{v} = (2,3,4)
e a aresta de comprimento 4,cm (associada ao eixo z) corresponde ao vetor
\mathbf{w} = (0,0,4).

Passo 3

Calculamos o produto escalar e as normas:
\mathbf{v}\cdot\mathbf{w} = 2\cdot0 + 3\cdot0 + 4\cdot4 = 16,
\|\mathbf{v}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{29},
\|\mathbf{w}\| = 4.

Passo 4

O cosseno do ângulo \theta satisfaz
\cos\theta = \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}}{\|\mathbf{v}\|\;\|\mathbf{w}\|} = \frac{16}{4\,\sqrt{29}} = \frac{4}{\sqrt{29}}.
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\theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{29}}\bigr) \approx 42,2^\circ.

Resposta

\displaystyle \theta = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{29}}\bigr)\approx 42,2^\circ

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