Se \vec{u}=(3,-1,-2), \vec{v}=(2,4,-1) e \vec{w}=(-1,0,1), determine:
(\vec{u}, \vec{v} \times \vec{w})

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores \vec{u}=(3,-1,-2), \vec{v}=(2,4,-1) e \vec{w}=(-1,0,1) e pede o produto misto (\vec{u},\vec{v}\times\vec{w}). Para resolver, vamos calcular primeiro \vec{v}\times\vec{w} (produto vetorial) e depois o produto escalar desse resultado com \vec{u}.

Passo 2

Usando a definição de produto vetorial em \mathbb{R}^3 via determinante, temos
\vec{v}\times\vec{w} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & 4 & -1 \\\\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \bigl(4\cdot1 - (-1)\cdot0,\;-\bigl(2\cdot1 - (-1)\cdot(-1)\bigr),\;2\cdot0 - 4\cdot(-1)\bigr) = (4,-1,4).

Passo 3

Agora, o produto misto é o produto escalar de \vec{u} com \vec{v}\times\vec{w}:
(\vec{u},\vec{v}\times\vec{w}) = \vec{u}\cdot(\vec{v}\times\vec{w}) = (3,-1,-2)\cdot(4,-1,4) = 3\cdot4 + (-1)\cdot(-1) + (-2)\cdot4 = 12 + 1 - 8 = 5.

Resposta

5

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