1. Mostre que \mathrm{A}(3,0,2) ; \mathrm{B}(4,3,0) e \mathrm{C}(-2,3,1) são vértices de um triângulo retângulo. Em qual vértice está o ângulo reto?

Passo 1

O enunciado dá os pontos A(3,0,2), B(4,3,0) e C(-2,3,1) em \mathbb{R}^3 e pede para mostrar que formam um triângulo retângulo. Para isso vamos usar o produto escalar: se duas arestas que partem de um mesmo vértice têm produto escalar zero, o ângulo entre elas é reto.

Passo 2

Calculamos as arestas como vetores:
\vec{AB} = B - A = (4-3,\;3-0,\;0-2) = (1,3,-2),
\vec{AC} = C - A = (-2-3,\;3-0,\;1-2) = (-5,3,-1),
\vec{BC} = C - B = (-2-4,\;3-3,\;1-0) = (-6,0,1).

Passo 3

Agora verificamos os produtos escalares em cada vértice:
\vec{AB}\cdot\vec{AC} =1\cdot(-5)+3\cdot3+(-2)\cdot(-1) =-5+9+2 =6\neq0,
\vec{BA}\cdot\vec{BC} =(-1)\cdot(-6)+(-3)\cdot0+2\cdot1 =6+0+2 =8\neq0,
\vec{CA}\cdot\vec{CB} =5\cdot6+(-3)\cdot0+1\cdot(-1) =30+0-1 =29\neq0.
Como nenhum desses produtos escalares é zero, nenhum dos ângulos é reto.

Resposta

Os pontos A, B e C não formam um triângulo retângulo; portanto, não há vértice com ângulo de 90^\circ.

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