A equação de Laplace tridimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2+partial^2 fpartial z^2=0 é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário T=f(x, y, z) no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional partial^2 fpartial x^2+partial^2 fpartial y^2=0 é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à z da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
f(x, y)=e^-2 y cos 2 x

Passo 1

Neste exercício, temos a função f(x,y)=e^-2ycos(2x) e queremos mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace bidimensional partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o conceito de função harmônica.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais em relação a x. Primeiro,
partial fpartial x = e^-2ycdot(-2sin(2x)) = -2e^-2ysin(2x),
e depois derivamos novamente para obter
partial^2 fpartial x^2 = -2e^-2ycdot(2cos(2x)) = -4e^-2ycos(2x)

Passo 3

Agora, calculamos as derivadas parciais em relação a y. Primeiro,
partial fpartial y = cos(2x)cdot(-2e^-2y) = -2e^-2ycos(2x),
e depois derivamos novamente para obter
partial^2 fpartial y^2 = -2cdot(-2e^-2ycos(2x)) = 4e^-2ycos(2x)

Passo 4

Somamos as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = -4e^-2ycos(2x) + 4e^-2ycos(2x) = 0

Passo 5

Isso mostra que f é harmônica no plano, isto é, satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função f(x,y)=e^-2ycos(2x) satisfaz a equação de Laplace bidimensional partial^2 fpartial x^2 + partial^2 fpartial y^2 = 0.

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