A equação de Laplace tridimensional
é satisfeita pelas distribuições de temperatura no estado estacionário
no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional
é obtida eliminando-se a derivada parcial em relação à
da equação anterior, e descreve potenciais e distribuições de temperatura no estado estacionário no plano. Mostre que cada função nos itens a seguir satisfaz uma equação de Laplace:
Passo 1
Neste exercício, temos a função
e queremos mostrar que ela satisfaz a equação de Laplace bidimensional
. Para isso, vamos usar derivadas parciais e o conceito de função harmônica.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais em relação a
. Primeiro,
e depois derivamos novamente para obter
Passo 3
Agora, calculamos as derivadas parciais em relação a
. Primeiro,
e depois derivamos novamente para obter
Passo 4
Somamos as segundas derivadas para verificar a equação de Laplace:
Passo 5
Isso mostra que
é harmônica no plano, isto é, satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função
satisfaz a equação de Laplace bidimensional
.