Em cada item, faça o gráfico da curva dada pela equação em coordenadas polares. Para a variação de theta indicada, determine: (i) pontos inicial e final, (ii) se a curva é fechada, (iii) o sentido no caso de a curva ser fechada, (iv) se a curva possui autointerseções, (v) o número de regiões limitadas determinadas pela curva.
r=1-2 sen theta, theta in[0,2 pi].

Passo 1

Temos a curva polar dada por r = 1 - 2sintheta em 0 <= theta <= 2pi. O conteúdo envolve esboçar um limacon com laço interno e identificar pontos especiais, fecho, sentido, autointerseções e regiões limitadas.

Passo 2

Calculamos o ponto inicial em theta=0 e o final em theta=2pi. Em ambos: r = 1 - 2sin0 = 1 e r = 1 - 2sin2pi = 1. No sistema de coordenadas polares, isso equivale ao ponto (1,0) no plano cartesiano.
Como o ponto em theta=0 e em theta=2pi coincide (ambos dão (1,0)), a curva é fechada.

Passo 3

O parâmetro theta cresce de 0 até 2pi, e em coordenadas polares esse aumento desenha a curva no sentido anti-horário (sentido positivo).

Passo 4

Para ver se há autointerseções, buscamos r=0:
1 - 2sintheta = 0 implies sintheta = tfrac12 implies theta = tfracpi6,,tfrac5pi6

Passo 5

Nos dois valores de theta a curva passa pela origem, formando o laço interno. Não há outro ponto de interseção além da origem, mas há esse encontro duplo, ou seja, uma autointerseção no polo.

Passo 6

A curva tem um laço interno (entre pi/6 e 5pi/6) e a parte externa (para os demais theta). Logo, há duas regiões limitadas: uma pelo laço interno e outra pela parte externa.

Resposta

(i) Ponto inicial e final: ambos (1,0). (ii) A curva é fechada. (iii) É percorrida no sentido anti-horário. (iv) Há autointerseção no polo em theta=pi/6 e theta=5pi/6. (v) A curva determina 2 regiões limitadas.

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