Em cada item, faça o gráfico da curva dada pela equação em coordenadas polares. Para a variação de
indicada, determine: (i) pontos inicial e final, (ii) se a curva é fechada, (iii) o sentido no caso de a curva ser fechada, (iv) se a curva possui autointerseções, (v) o número de regiões limitadas determinadas pela curva.
.
Passo 1
Temos a curva polar dada por
em
. O conteúdo envolve esboçar um limacon com laço interno e identificar pontos especiais, fecho, sentido, autointerseções e regiões limitadas.
Passo 2
Calculamos o ponto inicial em
e o final em
. Em ambos:
e
. No sistema de coordenadas polares, isso equivale ao ponto
no plano cartesiano.
Como o ponto em e em
coincide (ambos dão
), a curva é fechada.
Como o ponto em
Passo 3
O parâmetro
cresce de 0 até
, e em coordenadas polares esse aumento desenha a curva no sentido anti-horário (sentido positivo).
Passo 4
Para ver se há autointerseções, buscamos
:
Passo 5
Nos dois valores de
a curva passa pela origem, formando o laço interno. Não há outro ponto de interseção além da origem, mas há esse encontro duplo, ou seja, uma autointerseção no polo.
Passo 6
A curva tem um laço interno (entre
e
) e a parte externa (para os demais
). Logo, há duas regiões limitadas: uma pelo laço interno e outra pela parte externa.
Resposta
(i) Ponto inicial e final: ambos
. (ii) A curva é fechada. (iii) É percorrida no sentido anti-horário. (iv) Há autointerseção no polo em
e
. (v) A curva determina 2 regiões limitadas.