Uma sala encontra-se inicialmente à temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}, que é a mesma do ambiente externo. Um grande ventilador, que consome 200 W de eletricidade quando em funcionamento, é então ligado no interior da sala (Fig. 2-51). A taxa de transferência de calor entre a sala e o ar externo é dada por Q=U A\left(T_{i}-T_{0}\right) onde \mathrm{U}=6 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C} é o coeficiente global de transferência de calor, \mathrm{A}=30 \mathrm{~m}^{2} é a área das superfícies da sala e \mathrm{T}_{\mathrm{i}} e \mathrm{T}_{0} são as temperaturas do ar interno e externo, respectivamente. Determine a temperatura do ar interno quando são estabelecidas condições de operação em regime permanente.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo de forma clara):
  • Temperatura inicial da sala (e do ambiente externo): \,25^\circ\mathrm{C}.
  • Potência elétrica consumida pelo ventilador em funcionamento: \,200\\ \mathrm{W}.
  • Coeficiente global de transferência de calor: \,U=6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!^{\circ}\mathrm{C}.
  • Área das superfícies da sala: \,A=30\\ \mathrm{m}^2.
  • A taxa de transferência de calor entre a sala e o ar externo é dada por:
Q = U\,A\,(T_i - T_0),
onde \,T_i é a temperatura interna em regime permanente e \,T_0 é a temperatura externa (dada como \,25^\circ\mathrm{C}).
  • O que é pedido: determinar a temperatura do ar interno \,T_i quando se alcança o regime permanente com o ventilador ligado.

Passo 2

Entendendo o que acontece fisicamente (modelo energético simples e justificativa):
  • Em regime permanente a energia interna da sala não muda com o tempo: a energia fornecida por unidade de tempo (potência elétrica do ventilador) deve sair da sala na forma de calor para o exterior. Isso é uma condição de balanço de energia no estado estacionário.
  • O ventilador fornece potência elétrica \,P=200\\ \mathrm{W}. Quase toda essa potência acaba sendo transformada em calor dentro da sala (atrito dos ares, perdas elétricas no motor, etc.). Então podemos considerar que a potência elétrica se transforma em calor que deve ser evacuado para o exterior.
  • Portanto, em regime permanente vale a igualdade entre a potência fornecida e a taxa de calor que sai:
P = Q.
Essa é a equação de equilíbrio energético que vamos usar.

Passo 3

Escrevendo a equação e isolando a incógnita \,T_i:
  • Usando \,Q = U A (T_i - T_0) e \,P=Q, temos a equação
P = U\,A\,(T_i - T_0).
  • Isolando \,T_i obtemos:
T_i = T_0 + \frac{P}{U\,A}.
Aqui cada símbolo significa:
  • \,T_i: temperatura interna em regime permanente (o que queremos).
  • \,T_0: temperatura externa (dada).
  • \,P: potência elétrica do ventilador (convertida em calor).
  • \,U: coeficiente global de transferência de calor.
  • \,A: área das superfícies pela qual o calor é trocado.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos e calculando passo a passo:
  • Primeiro calcule \,U\,A:
U\,A = 6\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\!^{\circ}\mathrm{C}\times 30\\ \mathrm{m}^2 = 180\\ \mathrm{W}/^{\circ}\mathrm{C}.
  • Agora calcule a elevação de temperatura \,\Delta T = \dfrac{P}{U\,A}:
\Delta T = \frac{200\\ \mathrm{W}}{180\\ \mathrm{W}/^{\circ}\mathrm{C}} = \frac{200}{180}=\frac{10}{9}\\ \,^{\circ}\mathrm{C}\approx 1{,}111\ldots\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Finalmente some à temperatura externa:
T_i = 25^\circ\mathrm{C} + \frac{10}{9}^\circ\mathrm{C} = 26{,}111\ldots^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento final (dica para a prova):
  • O aumento de temperatura é pequeno, cerca de \,1{,}11^\circ\mathrm{C}: isso faz sentido porque a área e o coeficiente U permitem uma perda de calor suficientemente grande.
  • Para apresentar a resposta com um número prático, arredondo para duas casas decimais.

Resposta

T_i \approx 26{,}11^\circ\mathrm{C}

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