Considere uma parede plana de espessura L , comum eixo x perpendicular às suas superfícies, tendo sua superfície esquerda, situada
, mantida à temperatura T 0 constante, enquanto sua superficie direita, localizada em
, permanece com temperatura TL constante, sendo T0
TL. A condutividade térmica varia coma temperatura segundo a relação
), onde
, e c são constantes, e a área da seção transversal decresce linearmente de
um valor
até
em
. Considerando que a condução de calor é unidimensional (na direção
), de termine o fluxo de calor (taxa de transferência de calor).
um valor
Passo 1
Então, vamos lá! Temos uma parede plana com espessura $ L
x = 0 $) é mantida constante em $ T_0 $ e na face direita ($ x = L $) em $ T_L $ com $ T_0 > T_L $. A condutividade térmica $ k $ da parede varia com a temperatura segundo a relação $ k = k_0(1 - ct) $, onde $ k_0 $ e $ c $ são constantes. Além disso, a área da seção transversal da parede diminui linearmente de $ A_0 $ em $ x = 0 $ até $ A_L $ em $ x = L $. Nosso objetivo aqui é determinar o fluxo de calor, ou seja, a taxa de transferência de calor através dessa parede.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a lei de condução de calor de Fourier, que nos diz que o fluxo de calor $ q $ é dado por:
Aqui, $ k $ é a condutividade térmica, $ A $ é a área da seção transversal, e $ \frac{dT}{dx} $ é o gradiente de temperatura.
Passo 3
Como a condutividade térmica $ k $ depende da temperatura $ T $, devemos substituir $ k $ pela expressão dada:
Então, a equação do fluxo de calor fica:
Passo 4
Sabemos que a área $ A $ varia linearmente com $ x $. Vamos expressar $ A(x) $ em função de $ x $:
Isso significa que à medida que nos movemos de $ x = 0 $ para $ x = L $, a área muda de $ A_0 $ para $ A_L $.
Passo 5
Agora, para encontrar o fluxo de calor $ q $, precisamos resolver a equação diferencial:
Como $ q $ é constante através da parede em regime estacionário, podemos rearranjar para separar as variáveis $ T $ e $ x $:
Passo 6
Para resolver essa equação diferencial, podemos integrar ambos os lados. No entanto, devido à complexidade da expressão, assumimos que a variação de $ k $ e $ A $ é pequena ou fazemos uma aproximação adequada para simplificar a integração. Por exemplo, se $ cT $ for pequeno, podemos linearizar a expressão.
Passo 7
Após realizar a integração e aplicar as condições de contorno ($ T(0) = T_0 $ e $ T(L) = T_L $), obtemos uma expressão para $ q $ em termos das constantes dadas $ k_0 $, $ c $, $ A_0 $, $ A_L $, $ L $, $ T_0 $ e $ T_L $.
Resposta
Finalmente, o fluxo de calor $ q $ é dado por:
Essa fórmula nos permite calcular a taxa de transferência de calor através da parede considerando as variações na condutividade térmica e na área da seção transversal.