Considere um cubo com arestas de , paralelas aos eixos coordenados e localizados no primeiro quadrante de forma que o vértice coincida com a origem. Utilizando o campo de velocidades , determinar a vazão em cada face e mostrar que não haverá acumulo dentro do cubo se o fluido tiver massa específica constante.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem um cubo de arestas de 1 metro, alinhado com os eixos coordenados e com um vértice na origem. A velocidade do fluido dentro do cubo é dada por V = 5x, ex + 5y, ey - 10z, ez. Nosso objetivo é:
Determinar a vazão em cada face do cubo.
Mostrar que não há acumulo de fluido dentro do cubo se a massa específica do fluido for constante.
Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de fluxos e conservação de massa. Vamos passo a passo para ficar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é vazão. Vazão é a quantidade de fluido que passa por uma determinada área por unidade de tempo. Matematicamente, a vazão (Q) através de uma superfície é dada pela integral da velocidade do fluido vezes o vetor normal à superfície:
Q = integral duplaSuperfície V cdot n , dS í
Aqui, V é o vetor velocidade, n é o vetor normal à superfície, e dS é um elemento de área da superfície.
Passo 3
Vamos identificar as seis faces do cubo e os vetores normais correspondentes a cada uma:
Face em x=0 (lado esquerdo): vetor normal n = -ex
Face em x=1 (lado direito): vetor normal n = ex
Face em y=0 (frente): vetor normal n = -ey
Face em y=1 (atrás): vetor normal n = ey
Face em z=0 (fundo): vetor normal n = -ez
Face em z=1 (teto): vetor normal n = ez
Agora, vamos calcular a vazão para cada face usando a fórmula que mencionamos.
Passo 4
Calculando a vazão na face em x=0:
A velocidade na face x=0 é V = 5(0), ex + 5y, ey - 10z, ez = 5y, ey - 10z, ez.
O vetor normal é n = -ex.
Então, o produto escalar V cdot n = (5y)(0) + (5y)(0) + (-10z)(0) = 0.
Portanto, a vazão Qx=0 = integral dupla 0 , dS = 0.
Passo 5
Calculando a vazão na face em x=1:
A velocidade na face x=1 é V = 5(1), ex + 5y, ey - 10z, ez = 5, ex + 5y, ey - 10z, ez.
O vetor normal é n = ex.
O produto escalar V cdot n = 5 times 1 + 5y times 0 + (-10z) times 0 = 5.
A área da face é 1, m times 1, m = 1, m²². Como a velocidade é constante em x=1, a vazão é:
Qx=1 = integral dupla 5 , dS = 5 times 1 = 5, m³/s ³
Passo 6
Calculando a vazão na face em y=0:
A velocidade na face y=0 é V = 5x, ex + 5(0), ey - 10z, ez = 5x, ex - 10z, ez.
O vetor normal é n = -ey.
O produto escalar V cdot n = (5x)(0) + (0) times (-1) + (-10z)(0) = 0.
Portanto, a vazão Qy=0 = integral dupla 0 , dS = 0.
Passo 7
Calculando a vazão na face em y=1:
A velocidade na face y=1 é V = 5x, ex + 5(1), ey - 10z, ez = 5x, ex + 5, ey - 10z, ez.
O vetor normal é n = ey.
O produto escalar V cdot n = 5x times 0 + 5 times 1 + (-10z) times 0 = 5.
A área da face é 1, m²². Como a velocidade é constante em y=1, a vazão é:
Qy=1 = integral dupla 5 , dS = 5 times 1 = 5, m³/s ³
Passo 8
Calculando a vazão na face em z=0:
A velocidade na face z=0 é V = 5x, ex + 5y, ey - 10(0), ez = 5x, ex + 5y, ey.
O vetor normal é n = -ez.
O produto escalar V cdot n = 5x times 0 + 5y times 0 + 0 times (-1) = 0.
Portanto, a vazão Qz=0 = integral dupla 0 , dS = 0.
Passo 9
Calculando a vazão na face em z=1:
A velocidade na face z=1 é V = 5x, ex + 5y, ey - 10(1), ez = 5x, ex + 5y, ey - 10, ez.
O vetor normal é n = ez.
O produto escalar V cdot n = 5x times 0 + 5y times 0 + (-10) times 1 = -10.
Como a velocidade na face z=1 depende de x e y, precisamos integrar sobre toda a área:
Qz=1 = integral dupla (-10) , dS = -10 times 1 = -10, m³/s ³
Passo 10
Agora, vamos somar todas as vazões nas seis faces para verificar o acúmulo dentro do cubo:
Como a soma total das vazões é zero (0 + 5 + 0 + 5 + 0 - 10 = 0), isso mostra que não há acumulo de fluido dentro do cubo quando a massa específica do fluido é constante.