Considere uma parede plana de espessura \mathrm{L}=0,2 \mathrm{~m}, condutividade térmica \mathrm{k}=1,2 \mathrm{~W} / \mathrm{mK} e área \mathrm{A}=15 \mathrm{~m}^{2}. Os dois lados da parede são mantidos a temperaturas constantes de \mathrm{T}_{1}=120^{\circ} \mathrm{C} e \mathrm{T}_{2}=50^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente, e a temperatura inicial é uniformemente distribuída. Determine (a) o modelo que descreve o fenômeno; sob condições permanentes (estado estacionário) (b) a variação de temperatura na parede e o valor da temperatura em x=0,1 \mathrm{me} (b) a taxa de condução de condução de calor.

Passo 1

O enunciado descreve uma parede plana de espessura L=0{,}2\\ \mathrm{m}, condutividade térmica k=1{,}2\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e área A=15\\ \mathrm{m}^2. As faces da parede estão mantidas a temperaturas constantes T_1=120^\circ\mathrm{C} em x=0 e T_2=50^\circ\mathrm{C} em x=L. O que precisamos aqui é do modelo de condução de calor em regime permanente (estado estacionário), sem geração de calor interno, e em uma dimensão (direção x).

Passo 2

Em regime permanente e uma dimensão, a equação diferencial de condução de calor sem geração interna é
\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}=0.
Isso porque a temperatura não varia no tempo e não há fontes de calor no interior da parede.

Passo 3

Integrando a equação duas vezes, obtemos
T(x)=C_1\,x + C_2.
Usando as condições de contorno: em x=0, T(0)=T_1 implica C_2=T_1; em x=L, T(L)=T_2 implica
C_1=\frac{T_2 - T_1}{L}.
Logo, a variação de temperatura ao longo da espessura é
T(x)=T_1 + \frac{T_2-T_1}{L}\,x =120 - 350\,x\quad(^\circ\mathrm{C}),
pois \frac{50-120}{0{,}2}=-350.

Passo 4

Para x=0{,}1\\ \mathrm{m}, basta substituir na expressão:
T(0{,}1)=120 - 350\times0{,}1 =120 -35 =85\\ ^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

A taxa de condução de calor (fluxo total) pela lei de Fourier é
\dot Q = -\,k\,A\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}.
Como \mathrm{d}T/\mathrm{d}x=(T_2-T_1)/L=-350\\ ^\circ\mathrm{C/m}, vem
\dot Q = -1{,}2 \times 15 \times (-350) =1{,}2\times15\times350 =6300\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) O modelo é a equação de condução unidimensional em regime permanente
\frac{\mathrm{d}^2 T}{\mathrm{d}x^2}=0,
com condições T(0)=120^\circ\mathrm{C}, T(0{,}2)=50^\circ\mathrm{C}.
(b) A temperatura varia linearmente segundo
T(x)=120 - 350\,x\quad(^\circ\mathrm{C}),
logo em x=0{,}1\\ \mathrm{m} tem-se T=85^\circ\mathrm{C}.
(c) A taxa de condução de calor é \dot Q=6300\\ \mathrm{W}.

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