Calcular os limites seguintes:
\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}\, sendo \(f(x)=1 / x.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}}
sendo f(x)=\frac{1}{x}.
O conteúdo é a definição do quociente de diferença que leva à derivada de f em x_{0}. Vamos usar manipulação algébrica de frações e propriedades de limite.

Passo 2

Escrevemos o quociente de diferença substituindo f:
\frac{f(x)-f(x_{0})}{x - x_{0}} = \frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}}{x - x_{0}}.

Passo 3

Unificamos o numerador sobre um denominador comum:
\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{x_{0}}}{x - x_{0}} = \frac{\frac{x_{0}-x}{x\,x_{0}}}{x - x_{0}} = \frac{x_{0}-x}{x\,x_{0}\,(x - x_{0})}.

Passo 4

Note que x_{0}-x=-(x - x_{0}), então
\frac{x_{0}-x}{x\,x_{0}\,(x - x_{0})} = -\frac{x - x_{0}}{x\,x_{0}\,(x - x_{0})} = -\frac{1}{x\,x_{0}}.

Passo 5

Agora basta aplicar o limite x\to x_{0}:
\lim_{x\to x_{0}}\Bigl(-\frac{1}{x\,x_{0}}\Bigr) = -\frac{1}{x_{0}\,x_{0}} = -\frac{1}{x_{0}^{2}}.

Resposta

-\frac{1}{x_{0}^{2}}

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