Inverta a ordem de integração para calcular \int_{0}^{1} \int_{4 y}^{4} e^{x^{2}} d x d y.

Passo 1

O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla
\int_{0}^{1}\!\int_{4y}^{4} e^{x^{2}} \,dx\,dy
O conteúdo é integração de funções de duas variáveis e troca da ordem de integração usando a geometria da região de integração.

Passo 2

Precisamos descrever a região
D = \{(x,y)\mid 0 \le y \le 1,\;4y \le x \le 4\}.
No plano xy, a reta x=4y equivale a y=x/4. Quando y=0, x varia de 0 a 4; quando y=1, x fica em 4. Assim a região é um triângulo com vértices em (0,0), (4,0) e (4,1).

Passo 3

Para inverter, tomamos x como variável externa. Vemos que x vai de 0 até 4. Para cada x fixo, y varia de 0 até a reta y = x/4. Logo
\int_{0}^{1}\!\int_{4y}^{4} e^{x^{2}} \,dx\,dy =\int_{x=0}^{4}\!\int_{y=0}^{x/4} e^{x^{2}} \,dy\,dx.

Passo 4

No integrando e^{x^{2}} não depende de y, então
\int_{y=0}^{x/4} e^{x^{2}} \,dy = e^{x^{2}}\cdot\Bigl[y\Bigr]_{0}^{x/4} = \frac{x}{4}\,e^{x^{2}}.
Logo a integral fica
\int_{0}^{4} \frac{x}{4}\,e^{x^{2}} \,dx.

Passo 5

Para calcular
\int_{0}^{4} \frac{x}{4}\,e^{x^{2}} \,dx
fazemos a substituição u = x^{2}, de modo que du = 2x\,dx e x\,dx = \tfrac12\,du. Assim
\int_{0}^{4} \frac{x}{4}\,e^{x^{2}} \,dx = \frac{1}{4}\int_{u=0}^{16} e^{u}\,\frac{du}{2} = \frac{1}{8}\int_{0}^{16} e^{u}\,du = \frac{1}{8}\bigl[e^{u}\bigr]_{0}^{16} = \frac{1}{8}\bigl(e^{16}-1\bigr).

Resposta

\frac{1}{8}\bigl(e^{16}-1\bigr)

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