Inverta a ordem de integração para calcular
.
Inverta a ordem de integração para calcular
.
Passo 1
O enunciado pede para inverter a ordem de integração na integral dupla
O conteúdo é integração de funções de duas variáveis e troca da ordem de integração usando a geometria da região de integração.
Passo 2
Precisamos descrever a região
No plano
, a reta
equivale a
. Quando
,
varia de
a
; quando
,
fica em
. Assim a região é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Para inverter, tomamos
como variável externa. Vemos que
vai de
até
. Para cada
fixo,
varia de
até a reta
. Logo
Passo 4
No integrando
não depende de
, então
Logo a integral fica
Passo 5
Para calcular
fazemos a substituição
, de modo que
e
. Assim