Considere uma parede plana, na qual há geração uniforme de energia por unidade de volume varia de acordo com \left(\dot{q}=\dot{q}_{0} \times e^{-\beta x / L}\right) e as superficies são mantidas a T_{S, \text { I }} e T s \geq A partir da equação de energia em coordenadas cartesianas,
reduzida desta equação, para o caso de transferência direcional de calor em estado estacionario, sendo \alpha \mathrm{e} k constantes?
b. Desenvolver a solução geral para este caso e determinar as condições de contorno.
c. Expressar a distribuiçào de calor para este caso.
d. Gerar uma expressão para a taxa de transferência de calor por condução e o fluxo térmico de calor.
Passo 1
Enunciado reescrito e dados importantes (o que se pede e o que foi dado):
A parede é plana com coordenada espacial \,x\in[0,L]\,.
Há geração volumétrica de energia que varia com x segundo \displaystyle \dot{q}(x)=\dot{q}_{0}\,e^{-\beta x / L}.
As propriedades térmicas \alpha e k são constantes.
As superfícies em x=0 e em x=L são mantidas a temperaturas conhecidas, que vou denotar por \,T_{S,1} (em x=0) e \,T_{S,2} (em x=L). (O enunciado tem um trecho truncado; por consistência física e por ser o caso mais comum, assumo essas condições de contorno Dirichlet.)
A equação de energia em coordenadas cartesianas dada é
O que se pede:
a) Reduzir essa equação para o caso de transferência unidirecional em regime estacionário (com \alpha e k constantes).\n
b) Desenvolver a solução geral para esse caso e determinar as constantes usando as condições de contorno.\n
c) Expressar a distribuição de temperatura (creio que é isto que quer dizer por “distribuição de calor”).\n
d) Obter expressão para a taxa de transferência de calor por condução e o fluxo térmico (densidade de fluxo) para este caso.
Passo 2
Redução da equação de energia para o caso pedido (passo-a-passo e por que):
Regime estacionário significa que não há dependência temporal, ou seja \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=0. Assim o termo do lado direito some.
Transferência direcional (unidimensional) significa que as variações só ocorrem na direção x. Logo \displaystyle \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0 e \displaystyle \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}=0.
Substituindo estas simplificações na equação dada obtemos a equação ordinária em x:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\frac{\dot{q}(x)}{k}=0.
Agora substituímos a expressão da geração volumétrica \displaystyle \dot{q}(x)=\dot{q}_{0}e^{-\beta x/L}. Portanto a equação reduzida é
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,e^{-\beta x / L}=0.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por integração (mostrar cada passo):
Temos a EDO
\frac{d^{2}T}{dx^{2}} = -\frac{\dot{q}_{0}}{k}e^{-\beta x / L}.
Integramos uma vez em x para obter dT/dx. Lembre que \displaystyle \int e^{-\beta x/L}\,dx = -\frac{L}{\beta} e^{-\beta x/L}. Assim
onde definimos para clareza \displaystyle A=\frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}. As constantes C_{1} e C_{2} serão determinadas pelas condições de contorno.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno e determinar C_{1} e C_{2} (passo-a-passo):
Condições de contorno (assumidas): \displaystyle T(0)=T_{S,1} e \displaystyle T(L)=T_{S,2}.
Em x=0:
T_{S,1} = T(0) = -A e^{0} + C_{1}\cdot 0 + C_{2} = -A + C_{2},
Comentário didático: essa expressão tem três contribuições fáceis de entender:
T_{S,1} é a temperatura de referência em x=0.
O termo com A\bigl(1-e^{-\beta x/L}\bigr) resulta da geração interna não uniforme (comportamento exponencial).
O termo linear em x ajusta a inclinação da temperatura para satisfazer as duas condições de contorno; ele incorpora tanto o gradiente imposto pelas temperaturas de superfície quanto um efeito constante resultante da geração integrada.
Passo 6
Expressar o fluxo térmico por condução (densidade de fluxo) \displaystyle q''(x)=-k\frac{dT}{dx} e interpretar:
Observação física: como há geração interna, \,q''(x)\, varia com x. A variação espacial é dada pelo primeiro termo (exponencial). A diferença entre os fluxos nas faces está relacionada com a geração total integrada.
Passo 7
Fluxos nas superfícies e balanço energético (taxa de transferência por unidade de área):
Fluxo na face x=0 (fluxo saindo da superfície esquerda para o corpo, com a convenção q''=-k dT/dx):
Verificação do balanço: a diferença q''(L)-q''(0) deve ser igual a -\displaystyle\int_{0}^{L}\dot{q}(x)\,dx. Calculemos a geração total por unidade de área (energia gerada por unidade de tempo por área de seção transversal):
\dot{Q}_{L} = A\,\bigl(q''(L)\bigr) \quad\text{(dependendo da convenção de sinal desejada)}.çã
Observação prática: em muitas aplicações usamos a expressão por unidade de área (densidade de fluxo) em vez de multiplicar por A; basta lembrar que \dot{Q}= área \timesq''.
Resposta
\displaystyle T(x)=T_{S,1}+\frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\Bigl(1-e^{-\beta x/L}\Bigr)+\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+\dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\,x\n \displaystyle q''(x)=-\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta}e^{-\beta x/L}-k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+\dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\n \displaystyle \text{Geração total por unidade de área: }\int_{0}^{L}\dot{q}(x)\,dx=\dot{q}_{0}\frac{L}{\beta}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)çãá\n \displaystyle \text{Fluxo na face }x=0:\;q''(0)=-\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta}-k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+\dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\n \displaystyle \text{(Taxa de calor na face }x=0\text{, para área }A\!:)\;\dot{Q}_{0}=A\left[\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta}+k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+\dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\right]á