Considere uma parede plana, na qual há geração uniforme de energia por unidade de volume varia de acordo com \left(\dot{q}=\dot{q}_{0} \times e^{-\beta x / L}\right) e as superficies são mantidas a T_{S, \text { I }} e T s \geq A partir da equação de energia em coordenadas cartesianas,
\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}}+\frac{\dot{q}}{k}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial T}{\partial t}
reduzida desta equação, para o caso de transferência direcional de calor em estado estacionario, sendo \alpha \mathrm{e} k constantes?
b. Desenvolver a solução geral para este caso e determinar as condições de contorno.
c. Expressar a distribuiçào de calor para este caso.
d. Gerar uma expressão para a taxa de transferência de calor por condução e o fluxo térmico de calor.

Passo 1

Enunciado reescrito e dados importantes (o que se pede e o que foi dado):
  • A parede é plana com coordenada espacial \,x\in[0,L]\,.
  • Há geração volumétrica de energia que varia com x segundo \displaystyle \dot{q}(x)=\dot{q}_{0}\,e^{-\beta x / L}.
  • As propriedades térmicas \alpha e k são constantes.
  • As superfícies em x=0 e em x=L são mantidas a temperaturas conhecidas, que vou denotar por \,T_{S,1} (em x=0) e \,T_{S,2} (em x=L). (O enunciado tem um trecho truncado; por consistência física e por ser o caso mais comum, assumo essas condições de contorno Dirichlet.)
  • A equação de energia em coordenadas cartesianas dada é
\frac{\partial^{2} T}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} T}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} T}{\partial z^{2}}+\frac{\dot{q}}{k}=\frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}.
O que se pede:
a) Reduzir essa equação para o caso de transferência unidirecional em regime estacionário (com \alpha e k constantes).\n
b) Desenvolver a solução geral para esse caso e determinar as constantes usando as condições de contorno.\n
c) Expressar a distribuição de temperatura (creio que é isto que quer dizer por “distribuição de calor”).\n
d) Obter expressão para a taxa de transferência de calor por condução e o fluxo térmico (densidade de fluxo) para este caso.

Passo 2

Redução da equação de energia para o caso pedido (passo-a-passo e por que):
  • Regime estacionário significa que não há dependência temporal, ou seja \displaystyle \frac{\partial T}{\partial t}=0. Assim o termo do lado direito some.
  • Transferência direcional (unidimensional) significa que as variações só ocorrem na direção x. Logo \displaystyle \frac{\partial^2 T}{\partial y^2}=0 e \displaystyle \frac{\partial^2 T}{\partial z^2}=0.
  • Substituindo estas simplificações na equação dada obtemos a equação ordinária em x:
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\frac{\dot{q}(x)}{k}=0.
  • Agora substituímos a expressão da geração volumétrica \displaystyle \dot{q}(x)=\dot{q}_{0}e^{-\beta x/L}. Portanto a equação reduzida é
\frac{d^{2}T}{dx^{2}}+\frac{\dot{q}_{0}}{k}\,e^{-\beta x / L}=0.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por integração (mostrar cada passo):
  • Temos a EDO
\frac{d^{2}T}{dx^{2}} = -\frac{\dot{q}_{0}}{k}e^{-\beta x / L}.
  • Integramos uma vez em x para obter dT/dx. Lembre que \displaystyle \int e^{-\beta x/L}\,dx = -\frac{L}{\beta} e^{-\beta x/L}. Assim
\frac{dT}{dx} = -\frac{\dot{q}_{0}}{k}\int e^{-\beta x/L}\,dx + C_{1} = -\frac{\dot{q}_{0}}{k}\left(-\frac{L}{\beta}e^{-\beta x/L}\right)+C_{1} = \frac{\dot{q}_{0}L}{k\beta}e^{-\beta x/L}+C_{1},
onde C_{1} é uma constante de integração.
  • Integramos novamente para obter T(x). Use \displaystyle \int e^{-\beta x/L}\,dx = -\frac{L}{\beta} e^{-\beta x/L} novamente:
T(x)=\int\left(\frac{\dot{q}_{0}L}{k\beta}e^{-\beta x/L}+C_{1}\right)dx + C_{2} = \frac{\dot{q}_{0}L}{k\beta}\left(-\frac{L}{\beta}e^{-\beta x/L}\right)+C_{1}x+C_{2}.
  • Simplificando, escrevemos a solução geral como
T(x) = -\underbrace{\frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}}_{\displaystyle A}\,e^{-\beta x/L}+C_{1}x+C_{2},
onde definimos para clareza \displaystyle A=\frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}. As constantes C_{1} e C_{2} serão determinadas pelas condições de contorno.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno e determinar C_{1} e C_{2} (passo-a-passo):
  • Condições de contorno (assumidas): \displaystyle T(0)=T_{S,1} e \displaystyle T(L)=T_{S,2}.
  • Em x=0:
T_{S,1} = T(0) = -A e^{0} + C_{1}\cdot 0 + C_{2} = -A + C_{2},
portanto
C_{2} = T_{S,1} + A.
  • Em x=L:
T_{S,2} = T(L) = -A e^{-\beta} + C_{1}L + C_{2}.
Substituindo C_{2} obtemos
T_{S,2} = -A e^{-\beta} + C_{1}L + T_{S,1} + A.
  • Isolando C_{1}:
C_{1} = \frac{T_{S,2}-T_{S,1}+A\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}.

Passo 5

Escrever a solução completa para a distribuição de temperatura T(x) e interpretar os termos:
  • Substituindo A, C_{1} e C_{2} em T(x), obtemos
T(x) = -A e^{-\beta x/L} + C_{1}x + (T_{S,1}+A).
  • Reescrevendo explicitamente com A=\dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}} e C_{1} dado acima:
T(x)=T_{S,1}+A\Bigl(1-e^{-\beta x/L}\Bigr)+\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+A\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\,x.
  • Comentário didático: essa expressão tem três contribuições fáceis de entender:
    1. T_{S,1} é a temperatura de referência em x=0.
    2. O termo com A\bigl(1-e^{-\beta x/L}\bigr) resulta da geração interna não uniforme (comportamento exponencial).
    3. O termo linear em x ajusta a inclinação da temperatura para satisfazer as duas condições de contorno; ele incorpora tanto o gradiente imposto pelas temperaturas de superfície quanto um efeito constante resultante da geração integrada.

Passo 6

Expressar o fluxo térmico por condução (densidade de fluxo) \displaystyle q''(x)=-k\frac{dT}{dx} e interpretar:
  • Já tínhamos a derivada encontrada no Passo 3:
\frac{dT}{dx} = \frac{\dot{q}_{0}L}{k\beta}e^{-\beta x/L}+C_{1}.
  • Então a densidade de fluxo (fluxo por unidade de área) vale
q''(x) = -k\frac{dT}{dx} = -k\left(\frac{\dot{q}_{0}L}{k\beta}e^{-\beta x/L}+C_{1}\right) = -\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta}e^{-\beta x/L} - k\,C_{1}.
  • Substituindo C_{1} explícito, podemos escrever q''(x) em termos das temperaturas de superfície:
q''(x) = -\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta}e^{-\beta x/L} - k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+A\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}.
  • Observação física: como há geração interna, \,q''(x)\, varia com x. A variação espacial é dada pelo primeiro termo (exponencial). A diferença entre os fluxos nas faces está relacionada com a geração total integrada.

Passo 7

Fluxos nas superfícies e balanço energético (taxa de transferência por unidade de área):
  • Fluxo na face x=0 (fluxo saindo da superfície esquerda para o corpo, com a convenção q''=-k dT/dx):
q''(0) = -\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta} - k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+A\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}.
  • Fluxo na face x=L:
q''(L) = -\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta}e^{-\beta} - k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+A\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}.
  • Verificação do balanço: a diferença q''(L)-q''(0) deve ser igual a -\displaystyle\int_{0}^{L}\dot{q}(x)\,dx. Calculemos a geração total por unidade de área (energia gerada por unidade de tempo por área de seção transversal):
\int_{0}^{L}\dot{q}_{0}e^{-\beta x/L}\,dx = \dot{q}_{0}\frac{L}{\beta}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr).
Logo
q''(L)-q''(0) = -\dot{q}_{0}\frac{L}{\beta}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr),
o que é consistente com a relação diferencial d q''/dx = -\dot{q}(x).

Passo 8

Expressar a taxa total de transferência de calor por condução (para uma área A, e interpretação final):
  • Se a parede tem área transversal A, então a taxa de calor extraída na face x=0 (por condução, positivando magnitude que sai do sólido) é
\dot{Q}_{0} = A\,\bigl(-q''(0)\bigr) = A\left[\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta} + k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+A\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\right].
  • De modo análogo, na face x=L:
\dot{Q}_{L} = A\,\bigl(q''(L)\bigr) \quad\text{(dependendo da convenção de sinal desejada)}.çã
  • Observação prática: em muitas aplicações usamos a expressão por unidade de área (densidade de fluxo) em vez de multiplicar por A; basta lembrar que \dot{Q}= área \times q''.

Resposta

\displaystyle T(x)=T_{S,1}+\frac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\Bigl(1-e^{-\beta x/L}\Bigr)+\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+\dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\,x\n
\displaystyle q''(x)=-\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta}e^{-\beta x/L}-k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+\dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\n
\displaystyle \text{Geração total por unidade de área: }\int_{0}^{L}\dot{q}(x)\,dx=\dot{q}_{0}\frac{L}{\beta}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)çãá\n
\displaystyle \text{Fluxo na face }x=0:\;q''(0)=-\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta}-k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+\dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\n
\displaystyle \text{(Taxa de calor na face }x=0\text{, para área }A\!:)\;\dot{Q}_{0}=A\left[\frac{\dot{q}_{0}L}{\beta}+k\frac{T_{S,2}-T_{S,1}+\dfrac{\dot{q}_{0}L^{2}}{k\beta^{2}}\bigl(1-e^{-\beta}\bigr)}{L}\right]á

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