Como parte de um processo de tratamento térmico, bastões de aço inoxidável 316 \operatorname{com} 100 \mathrm{~mm} de diâmetro são resfriados a partir de uma temperatura inicial de 550^{\circ} \mathrm{C} pela sua suspensão em um banho de óleo a 35^{\circ} \mathrm{C}. Se um coeficiente de transferência de calor por convecção de 540 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}\right) for mantido pela circulação do óleo, quanto tempo demora para o eixo central dos bastōes atingir uma temperatura de 50^{\circ} \mathrm{C}, quando entâo ele é retirado do banho?

- Boa Prova -

Passo 1

Entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • Diâmetro do bastão: 100\\ \mathrm{mm}. Portanto o raio externo é r_0=50\\ \mathrm{mm}=0,05\\ \mathrm{m}.
    • Temperatura inicial (uniforme): T_i=550^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura do banho (fluido): T_\infty=35^\circ\mathrm{C}.
    • Coeficiente convectivo mantido: h=540\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
    • Queremos o tempo t até que a temperatura no eixo (centro) do bastão atinja T_{\text{centro}}=50^\circ\mathrm{C}.
  • Informações que vou usar (propriedades típicas do aço inoxidável 316 — o enunciado não fornece, então uso valores padrão):
    • Condutividade térmica: k=16\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
    • Densidade: \rho=8000\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Capacidade térmica específica: c=500\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
  • Observação importante: o enunciado não dá comprimento do bastão; vou assumir que ele é longo o suficiente para que o problema possa ser tratado como um cilindro de raio r_0 com perda de calor radial para o fluido (modelo de cilindro “infinito” em relação ao raio). Se o bastão fosse muito curto isso mudaria a solução, mas essa é a suposição usual em problemas de resfriamento de eixos longos.

Passo 2

Calcular grandezas termo-físicas básicas. Primeiro a difusividade térmica \alpha:
\alpha=\frac{k}{\rho c}=\frac{16}{8000\cdot 500}=\frac{16}{4{,}0\times10^{6}}=4{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s}.
Calcular o comprimento característico para o cilindro (volume/superfície) que usamos no número de Biot:
L_c=\frac{V}{A_s}=\frac{\pi r_0^2 L}{2\pi r_0 L}=\frac{r_0}{2}=\frac{0,05}{2}=0,025\\ \mathrm{m}.
Calcular o número de Biot:
\mathrm{Bi}=\frac{h L_c}{k}=\frac{540\cdot 0,025}{16}=0{,}84375\approx 0{,}844.
Comentário didático: o critério da capacidade lumped diz que se \mathrm{Bi}<0{,}1 podemos supor temperatura uniforme no sólido e usar modelo “um nó”. Aqui \mathrm{Bi}\approx 0{,}844 é bem maior que 0{,}1, então não podemos usar o método lumped — precisamos tratar a condução interna no raio do cilindro.

Passo 3

Escolher o método apropriado e escrever a solução geral (teoria necessária).
Como \mathrm{Bi}>0{,}1 e temos um cilindro (resfriamento radial), usamos a solução clássica por separação de variáveis para um cilindro circular (infinito no eixo) com convecção na superfície. A forma em série para a temperatura adimensional é:
\frac{T(r,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}=\sum_{n=1}^{\infty} C_n\,J_0\!\left(\lambda_n\frac{r}{r_0}\right)\exp\!\left(-\lambda_n^{2}\,\mathrm{Fo}\right),
onde
\mathrm{Fo}=\frac{\alpha t}{r_0^{2}}
é o número de Fourier adimensional, J_0 é a função de Bessel de primeira espécie, ordem zero, e os autovalores \lambda_n são as raízes da equação de condição de contorno:
\lambda_n J_1(\lambda_n)=\mathrm{Bi}\,J_0(\lambda_n).
Os coeficientes (obtidos pela ortogonalidade das funções de Bessel) são:
C_n=\frac{2}{\lambda_n J_1(\lambda_n)}.
Explicação didática curta: cada termo da série representa um “modo” de decaimento; o primeiro modo (n=1) normalmente domina para tempos moderados/grandes porque os modos superiores decaem mais rápido (têm \lambda_n^2 maiores). Por isso é comum e razoável, para estimativas em provas, aproximar pela retenção só do primeiro termo:
\frac{T(0,t)-T_\infty}{T_i-T_\infty}\approx C_1\exp\!\left(-\lambda_1^{2}\mathrm{Fo}\right),
já que em r=0 temos J_0(0)=1.

Passo 4

Calcular a temperatura adimensional alvo no centro e preparar a equação para o tempo.
A temperatura adimensional no centro que queremos atingir é
\theta_{\text{alvo}}=\frac{T_{\text{centro}}-T_\infty}{T_i-T_\infty} =\frac{50-35}{550-35}=\frac{15}{515}\approx 0{,}02913.
Usando a aproximação de primeiro modo:
\theta_{\text{alvo}}\approx C_1\exp\!\left(-\lambda_1^{2}\mathrm{Fo}\right).
Logo,
\exp\!\left(-\lambda_1^{2}\mathrm{Fo}\right)\approx\frac{\theta_{\text{alvo}}}{C_1} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Fo} \approx -\frac{1}{\lambda_1^{2}}\ln\!\left(\frac{\theta_{\text{alvo}}}{C_1}\right).
Então o tempo será
t=\frac{\mathrm{Fo}\,r_0^{2}}{\alpha}.
Para calcular tudo isso precisamos do primeiro autovalor \lambda_1 (solução de \lambda J_1(\lambda)=\mathrm{Bi}\,J_0(\lambda)) e do coeficiente C_1=\dfrac{2}{\lambda_1 J_1(\lambda_1)}.

Passo 5

Encontrar numericamente \lambda_1 resolvendo \lambda J_1(\lambda)=\mathrm{Bi}\,J_0(\lambda) com \mathrm{Bi}=0{,}844.
Vou fazer uma busca por alteração de sinal usando aproximações de séries para J_0 e J_1 (suficientemente precisas para este intervalo) e refinamento por interpolação:
  • Teste em \lambda=1{,}09:
    • Série aproximada dá J_0(1{,}09)\approx 0{,}7243 e J_1(1{,}09)\approx 0{,}4680.
    • Então f(\lambda)=\lambda J_1(\lambda)-\mathrm{Bi}\,J_0(\lambda)\approx 1{,}09\cdot 0{,}4680 - 0{,}844\cdot 0{,}7243 \approx -0{,}102 (negativo).
  • Teste em \lambda=1{,}19:
    • Série aproximada dá J_0(1{,}19)\approx 0{,}6761 e J_1(1{,}19)\approx 0{,}4957.
    • Então f(1{,}19)\approx 1{,}19\cdot 0{,}4957 - 0{,}844\cdot 0{,}6761 \approx +0{,}020 (positivo).
Como f muda de sinal entre 1{,}09 e 1{,}19, existe uma raiz aí. Interpolando linearmente e refinando encontramos
\lambda_1\approx 1{,}174.
(Em prova vale explicar que se usa uma busca numérica simples — tentativa e ajuste — ou tabelas/autovalores/Bessel calculadora. Aqui a estimativa \lambda_1\approx 1{,}174 é adequada.)

Passo 6

Calcular o coeficiente C_1 usando \lambda_1 e J_1(\lambda_1).
Da etapa anterior usamos J_1(1{,}174)\approx 0{,}4916. Então
C_1=\frac{2}{\lambda_1 J_1(\lambda_1)}=\frac{2}{1{,}174\cdot 0{,}4916} \approx\frac{2}{0{,}5774}\approx 3{,}464.
Comentário: C_1 pode ser maior que 1 — isso é normal nas expansões por funções de Bessel, porque os termos combinam para dar 1 em t=0 quando somados.

Passo 7

Determinar o número de Fourier necessário e o tempo real.
Usando a expressão do Passo 4:
\exp(-\lambda_1^2\mathrm{Fo})=\frac{\theta_{\text{alvo}}}{C_1} \quad\Rightarrow\quad \mathrm{Fo}=-\frac{1}{\lambda_1^2}\ln\!\left(\frac{\theta_{\text{alvo}}}{C_1}\right).
Substituindo os números:
\theta_{\text{alvo}}\approx 0{,}02913,\quad C_1\approx 3{,}464,\quad \lambda_1^2\approx (1{,}174)^2\approx 1{,}378.
Logo
\frac{\theta_{\text{alvo}}}{C_1}\approx\frac{0{,}02913}{3{,}464}\approx 0{,}008406,
\ln\!\left(0{,}008406\right)\approx -4{,}779,
\mathrm{Fo}\approx\frac{4{,}779}{1{,}378}\approx 3{,}468.
Agora o tempo:
t=\frac{\mathrm{Fo}\,r_0^{2}}{\alpha}=3{,}468\cdot\frac{(0,05)^{2}}{4{,}0\times 10^{-6}} =3{,}468\cdot\frac{0{,}0025}{4{,}0\times 10^{-6}} =3{,}468\cdot 625 \approx 2167{,}5\\ \mathrm{s}.
Converter para minutos:
2167{,}5\\ \mathrm{s}\approx 36{,}1\\ \mathrm{min}.

Passo 8

Verificação qualitativa e justificativa do uso da aproximação de primeiro termo.
  • Justificativa: os termos de ordem superior têm autovalores \lambda_n maiores (e portanto fatores \exp(-\lambda_n^2\mathrm{Fo}) que decaem muito mais rápido). Para o Fo encontrado ( \sim 3{,}47) os termos de ordem n\ge2 são muito menores que o primeiro e não influenciam significativamente o resultado final (a aproximação de um termo é a prática comum em provas quando se pede estimativa do tempo).
  • Checagem rápida: se tivéssemos (erroneamente) usado o modelo lumped-capacitance, obteríamos um tempo bem diferente; isso confirma que era necessário tratar a condução interna.

Resposta

t\approx 2{,}17\times 10^{3}\\ \mathrm{s}\approx 36{,}1\\ \mathrm{min}

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