Como parte de um processo de tratamento térmico, bastões de aço inoxidável 316
de diâmetro são resfriados a partir de uma temperatura inicial de
pela sua suspensão em um banho de óleo a
. Se um coeficiente de transferência de calor por convecção de
for mantido pela circulação do óleo, quanto tempo demora para o eixo central dos bastōes atingir uma temperatura de
, quando entâo ele é retirado do banho?
- Boa Prova -
Passo 1
Entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Diâmetro do bastão:
. Portanto o raio externo é . - Temperatura inicial (uniforme):
. - Temperatura do banho (fluido):
. - Coeficiente convectivo mantido:
. - Queremos o tempo
até que a temperatura no eixo (centro) do bastão atinja .
- Diâmetro do bastão:
-
Informações que vou usar (propriedades típicas do aço inoxidável 316 — o enunciado não fornece, então uso valores padrão):
- Condutividade térmica:
. - Densidade:
. - Capacidade térmica específica:
.
- Condutividade térmica:
-
Observação importante: o enunciado não dá comprimento do bastão; vou assumir que ele é longo o suficiente para que o problema possa ser tratado como um cilindro de raio
com perda de calor radial para o fluido (modelo de cilindro “infinito” em relação ao raio). Se o bastão fosse muito curto isso mudaria a solução, mas essa é a suposição usual em problemas de resfriamento de eixos longos.
Passo 2
Calcular grandezas termo-físicas básicas. Primeiro a difusividade térmica
:
Calcular o comprimento característico para o cilindro (volume/superfície) que usamos no número de Biot:
Calcular o número de Biot:
Comentário didático: o critério da capacidade lumped diz que se
podemos supor temperatura uniforme no sólido e usar modelo “um nó”. Aqui
é bem maior que
, então não podemos usar o método lumped — precisamos tratar a condução interna no raio do cilindro.
Passo 3
Escolher o método apropriado e escrever a solução geral (teoria necessária).
Como
e temos um cilindro (resfriamento radial), usamos a solução clássica por separação de variáveis para um cilindro circular (infinito no eixo) com convecção na superfície. A forma em série para a temperatura adimensional é:
onde
é o número de Fourier adimensional,
é a função de Bessel de primeira espécie, ordem zero, e os autovalores
são as raízes da equação de condição de contorno:
Os coeficientes (obtidos pela ortogonalidade das funções de Bessel) são:
Explicação didática curta: cada termo da série representa um “modo” de decaimento; o primeiro modo (n=1) normalmente domina para tempos moderados/grandes porque os modos superiores decaem mais rápido (têm
maiores). Por isso é comum e razoável, para estimativas em provas, aproximar pela retenção só do primeiro termo:
já que em
temos
.
Passo 4
Calcular a temperatura adimensional alvo no centro e preparar a equação para o tempo.
A temperatura adimensional no centro que queremos atingir é
Usando a aproximação de primeiro modo:
Logo,
Então o tempo será
Para calcular tudo isso precisamos do primeiro autovalor
(solução de
) e do coeficiente
.
Passo 5
Encontrar numericamente
resolvendo
com
.
Vou fazer uma busca por alteração de sinal usando aproximações de séries para
e
(suficientemente precisas para este intervalo) e refinamento por interpolação:
-
Teste em
: - Série aproximada dá
e . - Então
(negativo).
- Série aproximada dá
-
Teste em
: - Série aproximada dá
e . - Então
(positivo).
- Série aproximada dá
Como
muda de sinal entre
e
, existe uma raiz aí. Interpolando linearmente e refinando encontramos
(Em prova vale explicar que se usa uma busca numérica simples — tentativa e ajuste — ou tabelas/autovalores/Bessel calculadora. Aqui a estimativa
é adequada.)
Passo 6
Calcular o coeficiente
usando
e
.
Da etapa anterior usamos
. Então
Comentário:
pode ser maior que 1 — isso é normal nas expansões por funções de Bessel, porque os termos combinam para dar
em
quando somados.
Passo 7
Determinar o número de Fourier necessário e o tempo real.
Usando a expressão do Passo 4:
Substituindo os números:
Logo
Agora o tempo:
Converter para minutos:
Passo 8
Verificação qualitativa e justificativa do uso da aproximação de primeiro termo.
- Justificativa: os termos de ordem superior têm autovalores
maiores (e portanto fatores que decaem muito mais rápido). Para o Fo encontrado ( ) os termos de ordem são muito menores que o primeiro e não influenciam significativamente o resultado final (a aproximação de um termo é a prática comum em provas quando se pede estimativa do tempo). - Checagem rápida: se tivéssemos (erroneamente) usado o modelo lumped-capacitance, obteríamos um tempo bem diferente; isso confirma que era necessário tratar a condução interna.