Seja
a superfície de equação
paramétrica
. Determine a equação do plano tangente a
no ponto
.
Escolha uma opção:
paramétrica
Escolha uma opção:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ P_{0} = \mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente, o conceito de planos tangentes a superfícies paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da parametrização, encontrar o vetor normal ao plano e, por fim, montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar as coordenadas do ponto $ P_{0} $. A equação paramétrica é dada por:
Substituindo $ u = \frac{\pi}{4} $ e $ v = \frac{\pi}{4} $:
Então, $ P_{0} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da parametrização $ \mathbf{r}(u, v) $ em relação a $ u $ e $ v $:
Substituindo $ u = \frac{\pi}{4} $ e $ v = \frac{\pi}{4} $ nessas derivadas:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o vetor normal ao plano tangente. Para isso, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais $ \mathbf{r}_u $ e $ \mathbf{r}_v $:
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Podemos multiplicar o vetor normal por 4 para simplificar:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal $ \mathbf{n} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2) $ e o ponto $ P_{0} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $, podemos montar a equação do plano tangente. A equação geral de um plano é dada por:
Onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ são as coordenadas do ponto $ P_{0} $. Substituindo:
Distribuindo:
Somando os termos constantes:
Resposta
A equação do plano tangente é $ \sqrt{2},x + \sqrt{2},y + 2,z - 2,\sqrt{2} = 0 $.