Seja S a superfície de equação
paramétrica r(u, v)=(sin u cos v, sin u sin v, cos u). Determine a equação do plano tangente a S no ponto P0=r(pi4, pi4).
Escolha uma opção:
& raiz2 x+raiz2 y+2 z-2 raiz2=0 & 2 x+2 y+raiz2 z=0 & 2 x+2 y+2 raiz2 z-2=0 & 2 x+2 y+raiz2 z-2 raiz2=0 & 2 x+2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação do plano tangente à superfície $ S $ no ponto $ P_{0} = \mathbf{r}\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right) $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, mais especificamente, o conceito de planos tangentes a superfícies paramétricas. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais da parametrização, encontrar o vetor normal ao plano e, por fim, montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar as coordenadas do ponto $ P_{0} $. A equação paramétrica é dada por:
P0
Substituindo $ u = \frac{\pi}{4} $ e $ v = \frac{\pi}{4} $:
r(u, v) = (sin u cos v, sin u sin v, cos u)
u = pi4
v = pi4
Então, $ P_{0} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais da parametrização $ \mathbf{r}(u, v) $ em relação a $ u $ e $ v $:
r(u, v)
u
Substituindo $ u = \frac{\pi}{4} $ e $ v = \frac{\pi}{4} $ nessas derivadas:
v
ru = ( partial xpartial u, partial ypartial u, partial zpartial u ) = ( cos u cos v, cos u sin v, -sin u )

Passo 4

O próximo passo é encontrar o vetor normal ao plano tangente. Para isso, fazemos o produto vetorial das derivadas parciais $ \mathbf{r}_u $ e $ \mathbf{r}_v $:
ru
Calculando o produto vetorial:
rv
Simplificando:
n = ru times rv
Podemos multiplicar o vetor normal por 4 para simplificar:
n = i & j & k 12 & 12 & -raiz22 -12 & 12 & 0 = i( 12 cdot 0 - (-raiz22) cdot 12 ) - j( 12 cdot 0 - (-raiz22) cdot (-12) ) + k( 12 cdot 12 - 12 cdot (-12) )

Passo 5

Agora que temos o vetor normal $ \mathbf{n} = (\sqrt{2}, \sqrt{2}, 2) $ e o ponto $ P_{0} = \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right) $, podemos montar a equação do plano tangente. A equação geral de um plano é dada por:
n = (raiz2, raiz2, 2)
Onde $ (a, b, c) $ são as componentes do vetor normal e $ (x_{0}, y_{0}, z_{0}) $ são as coordenadas do ponto $ P_{0} $. Substituindo:
P0 = ( 12, 12, raiz22 )
Distribuindo:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Somando os termos constantes:
(a, b, c)

Resposta

A equação do plano tangente é $ \sqrt{2},x + \sqrt{2},y + 2,z - 2,\sqrt{2} = 0 $.

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