Considere uma partícula de carga q=2 nC se movendo em direção a um fio retilíneo muito longo, sendo a direção de movimento da partícula perpendicular ao sentido da corrente no fio. Qual deve ser a corrente elétrica no fio para que a força sobre a partícula seja quando ela estiver a 1 cm do fio? Assuma que a velocidade da partícula nesse instante é F=(-4 times 10^-6 N) i ̂, e que o fio conduz uma corrente no sentido positivo do eixo x .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma partícula carregada de $ q = 2 , nC $ que está se movendo em direção a um fio retilíneo muito longo. A direção do movimento da partícula é perpendicular à corrente que passa pelo fio. Queremos descobrir qual deve ser a intensidade da corrente elétrica no fio para que a força sobre a partícula seja $ \mathbf{F} = \left(-4 \times 10^{-6} , N\right) \hat{i} $ quando a partícula estiver a 1 cm do fio. Vamos precisar usar conceitos de força magnética e campo magnético gerado por um fio com corrente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético ($ \mathbf{B} $) criado por um fio retilíneo com corrente $ I $ a uma distância $ r $ do fio é dado pela fórmula:
B
onde $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $ é a permeabilidade do vácuo.

Passo 3

Agora, a força magnética ($ \mathbf{F} $) que atua sobre uma carga em movimento é calculada por:
F
Como a velocidade $ \mathbf{v} $ da partícula é dada por $ \mathbf{v} = -100 , m/s , \hat{j} $ e o campo magnético ao redor do fio está na direção circular, perpendicular ao plano do movimento, podemos usar o produto vetorial para encontrar a direção da força.

Passo 4

Sabemos que a força desejada é $ \mathbf{F} = \left(-4 \times 10^{-6} , N\right) \hat{i} $. Vamos igualar a expressão da força magnética à força dada:
F = (-4 times 10^-6 , N) i
Primeiro, calculamos o módulo da força:
-4 times 10^-6 , i = q (v times B)
Aqui, $ \theta = 90^\circ $ porque a velocidade é perpendicular ao campo magnético, então $ \sin(90^\circ) = 1 $. Portanto:
|F| = q v B sin(theta)

Passo 5

Substituímos $ B $ pela expressão do campo magnético do fio:
B
Agora, isolamos $ I $:
4 times 10^-6 = q v ( mu0 I2pi r )

Passo 6

Vamos substituir os valores numéricos:
q = 2 times 10^-9 , C, v = 100 , m/s, r = 0,01 , m, mu0 = 4pi times 10^-7 , Tcdotm/A
I = 4 times 10^-6 times 2pi times 0,012 times 10^-9 times 100 times 4pi times 10^-7

Passo 7

Simplificando as constantes e unidades:
I = 8pi times 10^-88pi times 10^-14 = 10^-710^-14 = 10^7 , A

Resposta

A corrente elétrica no fio deve ser de $ 10^{7} , A $.

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