Considere uma partícula de carga
se movendo em direção a um fio retilíneo muito longo, sendo a direção de movimento da partícula perpendicular ao sentido da corrente no fio. Qual deve ser a corrente elétrica no fio para que a força sobre a partícula seja quando ela estiver a 1 cm do fio? Assuma que a velocidade da partícula nesse instante é
, e que o fio conduz uma corrente no sentido positivo do eixo x .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui. Temos uma partícula carregada de $ q = 2 , nC $ que está se movendo em direção a um fio retilíneo muito longo. A direção do movimento da partícula é perpendicular à corrente que passa pelo fio. Queremos descobrir qual deve ser a intensidade da corrente elétrica no fio para que a força sobre a partícula seja $ \mathbf{F} = \left(-4 \times 10^{-6} , N\right) \hat{i} $ quando a partícula estiver a 1 cm do fio. Vamos precisar usar conceitos de força magnética e campo magnético gerado por um fio com corrente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo magnético ($ \mathbf{B} $) criado por um fio retilíneo com corrente $ I $ a uma distância $ r $ do fio é dado pela fórmula:
onde $ \mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} , T\cdotm/A $ é a permeabilidade do vácuo.
Passo 3
Agora, a força magnética ($ \mathbf{F} $) que atua sobre uma carga em movimento é calculada por:
Como a velocidade $ \mathbf{v} $ da partícula é dada por $ \mathbf{v} = -100 , m/s , \hat{j} $ e o campo magnético ao redor do fio está na direção circular, perpendicular ao plano do movimento, podemos usar o produto vetorial para encontrar a direção da força.
Passo 4
Sabemos que a força desejada é $ \mathbf{F} = \left(-4 \times 10^{-6} , N\right) \hat{i} $. Vamos igualar a expressão da força magnética à força dada:
Primeiro, calculamos o módulo da força:
Aqui, $ \theta = 90^\circ $ porque a velocidade é perpendicular ao campo magnético, então $ \sin(90^\circ) = 1 $. Portanto:
Passo 5
Substituímos $ B $ pela expressão do campo magnético do fio:
Agora, isolamos $ I $:
Passo 6
Vamos substituir os valores numéricos:
Passo 7
Simplificando as constantes e unidades:
Resposta
A corrente elétrica no fio deve ser de $ 10^{7} , A $.