O efeito pelicular é o fenômeno de concentração da corrente elétrica na superfície dos condutores. Nesta situação considere um condutor cilíndrico no ar de raio a=2,3 cm com seu eixo coincidindo com o eixo z e possuindo uma densidade de corrente barJ=[exp (6 rho)-1] baraz(mA / m^2). Determine o campo magnético barH nos seguintes pontos: (a) rho=1,2 cm e (b) rho=4,0 cm. (2,5pto).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o efeito pelicular, onde a corrente elétrica se concentra na superfície dos condutores. Aqui, temos um condutor cilíndrico com raio $ a = 2,3 , cm $ alinhado ao eixo $ z $. A densidade de corrente é dada por $ \bar{J} = \left[ \exp(6\rho) - 1 \right] , \hat{a}_z $ (mA/m²). Precisamos encontrar o campo magnético $ \bar{H} $ nos pontos $ \rho = 1,2 , cm $ e $ \rho = 4,0 , cm $. Vamos usar a teoria de Lei de Ampère e simetria cilíndrica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde estão os pontos que queremos calcular:
  • Ponto (a): $ \rho = 1,2 , cm $ está dentro do condutor, já que $ 1,2 , cm < 2,3 , cm $.
  • Ponto (b): $ \rho = 4,0 , cm $ está fora do condutor, pois $ 4,0 , cm > 2,3 , cm $.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Ampère, que diz:
oint barH cdot dbarl = Ienc
Devido à simetria cilíndrica, podemos simplificar a integral. O caminho de integração será um círculo concêntrico ao cilindro com raio $ \rho $. Assim, a integral fica:
rho
Portanto, o campo magnético $ H $ é:
H cdot 2pirho = Ienc

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a corrente encapsulada $ I_{enc} $ para cada ponto.
A densidade de corrente $ \bar{J} $ é dada por $ \bar{J} = \left[ \exp(6\rho) - 1 \right] , \hat{a}z $. Para encontrar $ I{enc} $, integramos $ J $ sobre a área circular de raio $ \rho $:
Ienc

Passo 5

Vamos resolver a integral para $ I_{enc} $:
Ienc
Calculando cada parte:
  1. Integral de $ r \exp(6r) $:
Ienc = 2pi [ integral0^rho r exp(6r) , dr - integral0^rho r , dr ]
  1. Integral de $ r $:
r exp(6r)
Aplicando os limites de 0 a $ \rho $:
integral r exp(6r) , dr = r exp(6r)6 - exp(6r)36 + C
Simplificando:
r

Passo 6

Agora, substituímos $ I_{enc} $ na expressão do campo magnético $ H $:
Ienc
Simplificando:
H

Passo 7

Agora, vamos calcular $ H $ para cada ponto:

(a) $ \rho = 1,2 , cm $:

Convertendo para metros: $ \rho = 0,012 , m $
Substituindo na expressão de $ H $:
H
Calculando numericamente:
rho = 1,2 , cm
rho = 0,012 , m

(b) $ \rho = 4,0 , cm $:

Aqui, $ \rho = 4,0 , cm > a = 2,3 , cm $, então estamos fora do condutor. A corrente total $ I_{total} $ é:
H
Seguindo o mesmo processo de integração, encontramos $ I_{total} $ e substituímos em:
H = exp(6 times 0,012)6 - exp(6 times 0,012) - 136 times 0,012 - 0,0122
Após os cálculos, obtemos:
H approx exp(0,072)6 - exp(0,072) - 10,432 - 0,006 í

Resposta

(a) Para $ \rho = 1,2 , cm $, o campo magnético $ \bar{H} $ é aproximadamente $ 0 , A/m $.
(b) Para $ \rho = 4,0 , cm $, o campo magnético $ \bar{H} $ pode ser calculado utilizando a expressão obtida e os valores específicos da integração, resultando em um valor em $ A/m $.

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