O efeito pelicular é o fenômeno de concentração da corrente elétrica na superfície dos condutores. Nesta situação considere um condutor cilíndrico no ar de raio
com seu eixo coincidindo com o eixo
e possuindo uma densidade de corrente
. Determine o campo magnético
nos seguintes pontos: (a)
e (b)
. (2,5pto).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o efeito pelicular, onde a corrente elétrica se concentra na superfície dos condutores. Aqui, temos um condutor cilíndrico com raio $ a = 2,3 , cm $ alinhado ao eixo $ z $. A densidade de corrente é dada por $ \bar{J} = \left[ \exp(6\rho) - 1 \right] , \hat{a}_z $ (mA/m²). Precisamos encontrar o campo magnético $ \bar{H} $ nos pontos $ \rho = 1,2 , cm $ e $ \rho = 4,0 , cm $. Vamos usar a teoria de Lei de Ampère e simetria cilíndrica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde estão os pontos que queremos calcular:
- Ponto (a): $ \rho = 1,2 , cm $ está dentro do condutor, já que $ 1,2 , cm < 2,3 , cm $.
- Ponto (b): $ \rho = 4,0 , cm $ está fora do condutor, pois $ 4,0 , cm > 2,3 , cm $.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei de Ampère, que diz:
Devido à simetria cilíndrica, podemos simplificar a integral. O caminho de integração será um círculo concêntrico ao cilindro com raio $ \rho $. Assim, a integral fica:
Portanto, o campo magnético $ H $ é:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a corrente encapsulada $ I_{enc} $ para cada ponto.
A densidade de corrente $ \bar{J} $ é dada por $ \bar{J} = \left[ \exp(6\rho) - 1 \right] , \hat{a}z $. Para encontrar $ I{enc} $, integramos $ J $ sobre a área circular de raio $ \rho $:
Passo 5
Vamos resolver a integral para $ I_{enc} $:
Calculando cada parte:
- Integral de $ r \exp(6r) $:
- Integral de $ r $:
Aplicando os limites de 0 a $ \rho $:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos $ I_{enc} $ na expressão do campo magnético $ H $:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos calcular $ H $ para cada ponto:
(a) $ \rho = 1,2 , cm $:
Convertendo para metros: $ \rho = 0,012 , m $
Substituindo na expressão de $ H $:
Calculando numericamente:
(b) $ \rho = 4,0 , cm $:
Aqui, $ \rho = 4,0 , cm > a = 2,3 , cm $, então estamos fora do condutor. A corrente total $ I_{total} $ é:
Seguindo o mesmo processo de integração, encontramos $ I_{total} $ e substituímos em:
Após os cálculos, obtemos:
Resposta
(a) Para $ \rho = 1,2 , cm $, o campo magnético $ \bar{H} $ é aproximadamente $ 0 , A/m $.
(b) Para $ \rho = 4,0 , cm $, o campo magnético $ \bar{H} $ pode ser calculado utilizando a expressão obtida e os valores específicos da integração, resultando em um valor em $ A/m $.
(b) Para $ \rho = 4,0 , cm $, o campo magnético $ \bar{H} $ pode ser calculado utilizando a expressão obtida e os valores específicos da integração, resultando em um valor em $ A/m $.