Considere uma partícula carregada com carga
colocada a uma distância
acima do centro de uma área quadrada de lado
. Supondo
, sem resolver a integral de fluxo, encontre o fluxo de campo elétrico através do quadrado.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Há uma partícula puntiforme com carga
. - Existe uma área quadrada de lado
; a partícula está posicionada perpendicularmente acima do centro desse quadrado, à distância . - É dado que
. - O que se pede: encontrar o fluxo do campo elétrico através desse quadrado (ou seja, o fluxo que atravessa exatamente a superfície do quadrado), e o enunciado pede que isso seja feito sem resolver diretamente a integral de fluxo.
Passo 2
Vamos lembrar (de forma didática e simples) o que é fluxo elétrico e a lei que vai nos salvar aqui.
- Definição de fluxo elétrico: o fluxo do campo elétrico através de uma superfície
é
onde
é o vetor área (módulo igual à área elemental, direção normal à superfície, sentido escolhido). Fisicamente, é a “quantidade de linhas de campo” que atravessam a superfície.
- Lei de Gauss (a peça-chave): para qualquer superfície fechada
,
ou seja, o fluxo total saindo por uma superfície fechada é
, onde
é a carga contida no volume. Isso vale independentemente de resolver integrais complicadas — é uma igualdade exata e muito poderosa.
Vou usar também um argumento de simetria: se uma carga
estiver exatamente no centro de um corpo fechado cujas faces são todas congruentes e estão simetricamente distribuídas em torno da carga, então o fluxo total
divide-se igualmente entre essas faces congruentes.
Passo 3
Agora a construção geométrica inteligente que evita integrar: como
, é possível imaginar um cubo de lado
cujo centro coincide exatamente com a posição da carga e cuja face inferior é exatamente o quadrado do enunciado.
- Descrevendo coordenadas para visualizar: colocar o quadrado no plano
com o centro na origem . A carga fica em . - Considere o cubo de lado
cujo centro está em . As faces desse cubo ficam em (face inferior), (face superior) e quatro faces laterais; a face em é exatamente o quadrado do enunciado (mesmo centro, mesmo lado ). E a carga está precisamente no centro desse cubo (porque centro do cubo está a distância de cada face).
Essa construção é válida porque o enunciado deu já a condição exata
.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss ao cubo que acabamos de construir:
- O fluxo total saindo do cubo fechado vale, pela lei de Gauss,
- Por simetria: a carga está exatamente no centro do cubo e as seis faces do cubo são todas congruentes e posicionadas de forma idêntica em relação à carga. Logo o fluxo sai igualmente por cada face. Assim o fluxo por cada face é igual a uma sexta parte do total.
Portanto o fluxo através da face que é o nosso quadrado é
Passo 5
Pequeno comentário de checagem (intuitivo): a soma dos fluxos pelas seis faces dá
, consistente com Gauss. Não foi necessário calcular integrais complicadas nem a expressão do campo em cada ponto da face — a lei de Gauss + simetria economizam todo o trabalho.