Considere uma partícula carregada com carga q colocada a uma distância d acima do centro de uma área quadrada de lado a. Supondo d=a / 2, sem resolver a integral de fluxo, encontre o fluxo de campo elétrico através do quadrado.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Há uma partícula puntiforme com carga q.
  • Existe uma área quadrada de lado a; a partícula está posicionada perpendicularmente acima do centro desse quadrado, à distância d.
  • É dado que d = a/2.
  • O que se pede: encontrar o fluxo do campo elétrico através desse quadrado (ou seja, o fluxo que atravessa exatamente a superfície do quadrado), e o enunciado pede que isso seja feito sem resolver diretamente a integral de fluxo.

Passo 2

Vamos lembrar (de forma didática e simples) o que é fluxo elétrico e a lei que vai nos salvar aqui.
  • Definição de fluxo elétrico: o fluxo do campo elétrico através de uma superfície S é
\Phi = \iint_{S} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A},
onde d\mathbf{A} é o vetor área (módulo igual à área elemental, direção normal à superfície, sentido escolhido). Fisicamente, é a “quantidade de linhas de campo” que atravessam a superfície.
  • Lei de Gauss (a peça-chave): para qualquer superfície fechada V,
\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
ou seja, o fluxo total saindo por uma superfície fechada é q_{\text{enc}}/\varepsilon_0, onde q_{\text{enc}} é a carga contida no volume. Isso vale independentemente de resolver integrais complicadas — é uma igualdade exata e muito poderosa.
Vou usar também um argumento de simetria: se uma carga q estiver exatamente no centro de um corpo fechado cujas faces são todas congruentes e estão simetricamente distribuídas em torno da carga, então o fluxo total q/\varepsilon_0 divide-se igualmente entre essas faces congruentes.

Passo 3

Agora a construção geométrica inteligente que evita integrar: como d = a/2, é possível imaginar um cubo de lado a cujo centro coincide exatamente com a posição da carga e cuja face inferior é exatamente o quadrado do enunciado.
  • Descrevendo coordenadas para visualizar: colocar o quadrado no plano z=0 com o centro na origem (0,0,0). A carga fica em (0,0,d)=(0,0,a/2).
  • Considere o cubo de lado a cujo centro está em (0,0,a/2). As faces desse cubo ficam em z=0 (face inferior), z=a (face superior) e quatro faces laterais; a face em z=0 é exatamente o quadrado do enunciado (mesmo centro, mesmo lado a). E a carga está precisamente no centro desse cubo (porque centro do cubo está a distância a/2 de cada face).
Essa construção é válida porque o enunciado deu já a condição exata d=a/2.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss ao cubo que acabamos de construir:
  • O fluxo total saindo do cubo fechado vale, pela lei de Gauss,
\oint_{\text{cubo}} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{q}{\varepsilon_0}.
  • Por simetria: a carga está exatamente no centro do cubo e as seis faces do cubo são todas congruentes e posicionadas de forma idêntica em relação à carga. Logo o fluxo sai igualmente por cada face. Assim o fluxo por cada face é igual a uma sexta parte do total.
Portanto o fluxo através da face que é o nosso quadrado é
\Phi_{\text{quadrado}} = \frac{1}{6}\,\frac{q}{\varepsilon_0} = \frac{q}{6\varepsilon_0}.

Passo 5

Pequeno comentário de checagem (intuitivo): a soma dos fluxos pelas seis faces dá 6\cdot (q/6\varepsilon_0)=q/\varepsilon_0, consistente com Gauss. Não foi necessário calcular integrais complicadas nem a expressão do campo em cada ponto da face — a lei de Gauss + simetria economizam todo o trabalho.

Resposta

\displaystyle \frac{q}{6\varepsilon_0}

Exercícios relacionados