Qual o menor tamanho de espelho necessário para que uma pessoa de
possa ser ver por completo nele?
a.
;
b.
;
c.
;
d. Depende da distância que a pessoa está do espelho.
a.
b.
c.
d. Depende da distância que a pessoa está do espelho.
Passo 1
O enunciado dá uma pessoa de altura
e pergunta qual o menor tamanho de espelho necessário para que essa pessoa se veja inteira. As alternativas são:
a.
b.
c.
d. Depende da distância que a pessoa está do espelho.
a.
b.
c.
d. Depende da distância que a pessoa está do espelho.
Informações relevantes fornecidas:
- Altura da pessoa:
- O que se quer: comprimento mínimo vertical do espelho para ver a pessoa inteira.
Passo 2
Explicação do princípio físico que vamos usar (de forma bem direta e intuitiva). Quando se olha num espelho plano, a imagem da pessoa aparece atrás do espelho à mesma distância que a pessoa está na frente. Essa imagem é virtual e simétrica em relação ao plano do espelho. Uma forma simples de tratar a reflexão é substituir o raio refletido por um raio que parte do olho e vai em linha reta até a imagem virtual atrás do espelho: portanto, o ponto do espelho que faz a reflexão é exatamente o ponto onde essa linha cruza o plano do espelho.
Vou usar isso para calcular quais alturas do espelho são necessárias para refletir a cabeça e os pés até os olhos. Não é preciso conhecer a distância horizontal até o espelho para essa construção; a simetria do problema fará isso cair.
Passo 3
Montagem geométrica e notação. Coloco um eixo vertical com origem no chão. Denoto:
-
= altura do topo da cabeça (ou seja, altura total da pessoa); -
= altura dos olhos acima do chão (algum valor entre e ); - o espelho é um plano vertical colocado em alguma posição diante da pessoa (a distância horizontal ao espelho chamo de
, mas não precisaremos do valor de ).
A imagem virtual da pessoa está atrás do espelho, à mesma altura de cada ponto (topo, olhos, pés) e à mesma distância
atrás do espelho. Então a imagem do topo da cabeça tem coordenadas
(usando coordenada horizontal
e vertical
), enquanto os olhos estão em
. A linha reta que liga os olhos à imagem do topo da cabeça cruza o plano do espelho
num ponto cuja altura vamos determinar.
Passo 4
Cálculo do ponto do espelho que reflete o topo da cabeça até os olhos. Parametrizamos a reta entre os pontos olhos
e imagem do topo
. Para um parâmetro
que vai de
(olho) a
(imagem do topo), as coordenadas são
O ponto de interseção com o plano do espelho ocorre quando
. Daí
Substituindo em
obtemos a altura, no espelho, do ponto que reflete a cabeça:
Passo 5
Cálculo do ponto do espelho que reflete os pés até os olhos. Repetindo o raciocínio para a imagem dos pés, que tem altura
(chão), ligamos olhos
a imagem dos pés
. Usando o mesmo parâmetro e impondo
obtemos novamente
. Então a altura, no espelho, do ponto que reflete os pés é
Passo 6
Comprimento mínimo do espelho. O espelho precisa cobrir verticalmente do ponto que reflete os pés até o ponto que reflete a cabeça. Assim o comprimento mínimo
é
Observe algo importante:
(a altura dos olhos) cancelou. Portanto o comprimento necessário não depende de onde os olhos estão nem da distância
até o espelho — depende apenas da altura total
. A conclusão geral: o menor espelho que permite ver o corpo inteiro tem metade da altura da pessoa.
Passo 7
Aplicando ao caso numérico. Para
,
Passo 8
Interpretação final e dica prática rápida. Mesmo que a pessoa esteja longe ou perto do espelho, um espelho com
de altura, posicionado de modo que sua faixa vertical vá de
até
, permite ver a pessoa inteira. Por isso a alternativa correta é a que diz
.
Resposta
c.