Qual o menor tamanho de espelho necessário para que uma pessoa de 1,8 m possa ser ver por completo nele?
a. 1,8 \mathrm{~m};
b. 1,2 \mathrm{~m};
c. 0,9 \mathrm{~m};
d. Depende da distância que a pessoa está do espelho.

Passo 1

O enunciado dá uma pessoa de altura 1,8\\ \mathrm{m} e pergunta qual o menor tamanho de espelho necessário para que essa pessoa se veja inteira. As alternativas são:
a. 1,8\\ \mathrm{m}
b. 1,2\\ \mathrm{m}
c. 0,9\\ \mathrm{m}
d. Depende da distância que a pessoa está do espelho.
Informações relevantes fornecidas:
  • Altura da pessoa: \;H=1,8\\ \mathrm{m}.
  • O que se quer: comprimento mínimo vertical do espelho para ver a pessoa inteira.

Passo 2

Explicação do princípio físico que vamos usar (de forma bem direta e intuitiva). Quando se olha num espelho plano, a imagem da pessoa aparece atrás do espelho à mesma distância que a pessoa está na frente. Essa imagem é virtual e simétrica em relação ao plano do espelho. Uma forma simples de tratar a reflexão é substituir o raio refletido por um raio que parte do olho e vai em linha reta até a imagem virtual atrás do espelho: portanto, o ponto do espelho que faz a reflexão é exatamente o ponto onde essa linha cruza o plano do espelho.
Vou usar isso para calcular quais alturas do espelho são necessárias para refletir a cabeça e os pés até os olhos. Não é preciso conhecer a distância horizontal até o espelho para essa construção; a simetria do problema fará isso cair.

Passo 3

Montagem geométrica e notação. Coloco um eixo vertical com origem no chão. Denoto:
  • \,H = altura do topo da cabeça (ou seja, altura total da pessoa);
  • \,e = altura dos olhos acima do chão (algum valor entre 0 e H);
  • o espelho é um plano vertical colocado em alguma posição diante da pessoa (a distância horizontal ao espelho chamo de d, mas não precisaremos do valor de d).
A imagem virtual da pessoa está atrás do espelho, à mesma altura de cada ponto (topo, olhos, pés) e à mesma distância d atrás do espelho. Então a imagem do topo da cabeça tem coordenadas (+d, H) (usando coordenada horizontal x e vertical y), enquanto os olhos estão em (-d, e). A linha reta que liga os olhos à imagem do topo da cabeça cruza o plano do espelho x=0 num ponto cuja altura vamos determinar.

Passo 4

Cálculo do ponto do espelho que reflete o topo da cabeça até os olhos. Parametrizamos a reta entre os pontos olhos (-d,e) e imagem do topo (+d,H). Para um parâmetro t que vai de 0 (olho) a 1 (imagem do topo), as coordenadas são
x(t) = -d + (2d)t, \qquad y(t) = e + (H-e)t.
O ponto de interseção com o plano do espelho ocorre quando x(t)=0. Daí
0 = -d + 2d t \quad\Rightarrow\quad t=\tfrac{1}{2}.
Substituindo em y(t) obtemos a altura, no espelho, do ponto que reflete a cabeça:
y_{\text{top}} = e + (H-e)\tfrac{1}{2} = \tfrac{e+H}{2}.

Passo 5

Cálculo do ponto do espelho que reflete os pés até os olhos. Repetindo o raciocínio para a imagem dos pés, que tem altura 0 (chão), ligamos olhos (-d,e) a imagem dos pés (+d,0). Usando o mesmo parâmetro e impondo x(t)=0 obtemos novamente t=\tfrac{1}{2}. Então a altura, no espelho, do ponto que reflete os pés é
y_{\text{feet}} = e + (0-e)\tfrac{1}{2} = \tfrac{e}{2}.

Passo 6

Comprimento mínimo do espelho. O espelho precisa cobrir verticalmente do ponto que reflete os pés até o ponto que reflete a cabeça. Assim o comprimento mínimo L é
L = y_{\text{top}} - y_{\text{feet}} = \tfrac{e+H}{2} - \tfrac{e}{2} = \tfrac{H}{2}.
Observe algo importante: e (a altura dos olhos) cancelou. Portanto o comprimento necessário não depende de onde os olhos estão nem da distância d até o espelho — depende apenas da altura total H. A conclusão geral: o menor espelho que permite ver o corpo inteiro tem metade da altura da pessoa.

Passo 7

Aplicando ao caso numérico. Para \;H=1,8\\ \mathrm{m},
L=\tfrac{H}{2}=\tfrac{1,8\\ \mathrm{m}}{2}=0,9\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Interpretação final e dica prática rápida. Mesmo que a pessoa esteja longe ou perto do espelho, um espelho com 0,9\\ \mathrm{m} de altura, posicionado de modo que sua faixa vertical vá de \tfrac{e}{2} até \tfrac{e+H}{2}, permite ver a pessoa inteira. Por isso a alternativa correta é a que diz 0,9\\ \mathrm{m}.

Resposta

c. 0,9\\ \mathrm{m}

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