Uma placa plana de espessura total igual a 2 cm está sendo submetida a um processo de secagem em ar quente. A difusividade efetiva da umidade no interior do sólido é
, enquanto o coeficiente convectivo externo é
. Admitindo coeficiente de partição unitário, determine o número de Biot mássico do processo, avalie a validade da hipótese de concentração uniforme no interior do sólido e determine qual deveria ser o valor mínimo da difusividade efetiva para que o sistema operasse com número de Biot inferior a 0,1 .
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (já peguei os números do enunciado):
- Espessura total da placa:
. - Difusividade efetiva da umidade:
. - Coeficiente convectivo externo (de massa):
. - Coeficiente de partição unitário (isto é,
).
As perguntas:
- Determinar o número de Biot mássico do processo.
- Avaliar a validade da hipótese de concentração uniforme no interior do sólido (critério de lumped capacitance).
- Determinar o valor mínimo da difusividade efetiva para que o sistema opere com
.
Passo 2
Definição e escolha do comprimento característico (explicação didática).
- O número de Biot mássico é a razão entre a resistência convectiva externa e a resistência difusiva interna. A forma usada para um corpo sólido é
onde:
-
é o número de Biot para transporte de massa (adimensional); -
é o coeficiente convectivo de massa ; -
é a difusividade efetiva ; -
é o comprimento característico do corpo (em metros). - Para uma lâmina plana (slab) de espessura total
, o comprimento característico normalmente usado é o semi-espessura (meio da placa), porque a difusão acontece entre o centro e a superfície. Assim, se a espessura total é , então .
Comentário sobre coeficiente de partição
:
- Significa que a concentração de equilíbrio na superfície sólida e na fase de ar estão relacionadas por
e, com , a concentração superficial efetiva é diretamente comparável à concentração no fluido; isso só afeta as condições de contorno, mas não altera a forma do usado aqui.
Passo 3
Converter as unidades e calcular o comprimento característico.
- Espessura total
. - Semi-espessura (comprimento característico):
Passo 4
Calcular o produto
(mostrando passo a passo).
(Observe unidades:
em
vezes
em
dá
, compatível com
.)
Passo 5
Calcular o número de Biot mássico usando a fórmula.
Agora faça a divisão em notação científica:
Portanto,
Passo 6
Avaliação da hipótese de concentração uniforme (critério e interpretação).
- Regra prática para lumped capacitance (concentração aproximadamente uniforme): considerar válida quando
- Aqui encontramos
, que é muito maior que . Conclusão: a hipótese de concentração uniforme no interior do sólido NÃO é válida. - Interpretação física simples:
tão grande significa que a resistência interna à difusão é muito maior que a resistência convectiva externa — ou seja, a taxa de saída da umidade é limitada pela difusão dentro do sólido; haverá gradientes significativos de concentração do centro até a superfície.
Passo 7
Determinar a difusividade mínima necessária para garantir
.
- Reorganizando a fórmula para
:
- Tomando
,
Passo 8
Comparação e comentário final (ordem de grandeza).
- O valor dado
é muito menor que . - Fator necessário de aumento da difusividade para atingir o regime lumped:
Ou seja, seria necessário aumentar a difusividade por um fator da ordem de
, um salto impraticável na maioria dos materiais, confirmando que o processo real será controlado pela difusão interna.
Resposta
Hipótese de concentração uniforme no interior: inválida (não pode ser usada)