Uma placa plana de espessura total igual a 2 cm está sendo submetida a um processo de secagem em ar quente. A difusividade efetiva da umidade no interior do sólido é 5 \times 10^{-11} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}, enquanto o coeficiente convectivo externo é 3 \times 10^{-3} \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Admitindo coeficiente de partição unitário, determine o número de Biot mássico do processo, avalie a validade da hipótese de concentração uniforme no interior do sólido e determine qual deveria ser o valor mínimo da difusividade efetiva para que o sistema operasse com número de Biot inferior a 0,1 .

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (já peguei os números do enunciado):
  • Espessura total da placa: 2\\ \text{cm}.
  • Difusividade efetiva da umidade: D_{\text{eff}} = 5\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
  • Coeficiente convectivo externo (de massa): h_{m} = 3\times10^{-3}\\ \mathrm{m/s}.
  • Coeficiente de partição unitário (isto é, K=1).
As perguntas:
  1. Determinar o número de Biot mássico do processo.
  2. Avaliar a validade da hipótese de concentração uniforme no interior do sólido (critério de lumped capacitance).
  3. Determinar o valor mínimo da difusividade efetiva para que o sistema opere com Bi_{m}<0{,}1.

Passo 2

Definição e escolha do comprimento característico (explicação didática).
  • O número de Biot mássico é a razão entre a resistência convectiva externa e a resistência difusiva interna. A forma usada para um corpo sólido é
Bi_{m}=\frac{h_{m}\,L_{c}}{D_{\text{eff}}},
onde:
  • Bi_{m} é o número de Biot para transporte de massa (adimensional);
  • h_{m} é o coeficiente convectivo de massa \left(\mathrm{m/s}\right);
  • D_{\text{eff}} é a difusividade efetiva \left(\mathrm{m^{2}/s}\right);
  • L_{c} é o comprimento característico do corpo (em metros).
  • Para uma lâmina plana (slab) de espessura total 2a, o comprimento característico normalmente usado é o semi-espessura a (meio da placa), porque a difusão acontece entre o centro e a superfície. Assim, se a espessura total é 2\\ \text{cm}, então L_{c}=a.
Comentário sobre coeficiente de partição K=1:
  • Significa que a concentração de equilíbrio na superfície sólida e na fase de ar estão relacionadas por c_s = K\,c_{g} e, com K=1, a concentração superficial efetiva é diretamente comparável à concentração no fluido; isso só afeta as condições de contorno, mas não altera a forma do Bi_{m} usado aqui.

Passo 3

Converter as unidades e calcular o comprimento característico.
  • Espessura total =2\\ \text{cm}=0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Semi-espessura (comprimento característico):
L_{c}=a=\frac{0{,}02}{2}=0{,}01\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o produto h_{m}L_{c} (mostrando passo a passo).
h_{m}L_{c}=(3\times10^{-3})\times(0{,}01)=3\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}/s}.
(Observe unidades: h_{m} em \mathrm{m/s} vezes L_{c} em \mathrm{m} \mathrm{m^{2}/s}, compatível com D_{\text{eff}}.)

Passo 5

Calcular o número de Biot mássico usando a fórmula.
Bi_{m}=\frac{h_{m}L_{c}}{D_{\text{eff}}}=\frac{3\times10^{-5}}{5\times10^{-11}}.
Agora faça a divisão em notação científica:
\frac{3\times10^{-5}}{5\times10^{-11}}=\frac{3}{5}\times10^{(-5)-(-11)}=0{,}6\times10^{6}=6{,}0\times10^{5}.
Portanto,
Bi_{m}=6{,}0\times10^{5}.

Passo 6

Avaliação da hipótese de concentração uniforme (critério e interpretação).
  • Regra prática para lumped capacitance (concentração aproximadamente uniforme): considerar válida quando
Bi_{m}\lesssim0{,}1.
  • Aqui encontramos Bi_{m}=6{,}0\times10^{5}, que é muito maior que 0{,}1. Conclusão: a hipótese de concentração uniforme no interior do sólido NÃO é válida.
  • Interpretação física simples: Bi_{m} tão grande significa que a resistência interna à difusão é muito maior que a resistência convectiva externa — ou seja, a taxa de saída da umidade é limitada pela difusão dentro do sólido; haverá gradientes significativos de concentração do centro até a superfície.

Passo 7

Determinar a difusividade mínima necessária para garantir Bi_{m}<0{,}1.
  • Reorganizando a fórmula para D_{\text{eff}}:
D_{\text{mín}}=\frac{h_{m}L_{c}}{Bi_{m,\text{crit}}}.í
  • Tomando Bi_{m,\text{crit}}=0{,}1,
D_{\text{mín}}=\frac{3\times10^{-5}}{0{,}1}=3\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}.í

Passo 8

Comparação e comentário final (ordem de grandeza).
  • O valor dado D_{\text{eff}}=5\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{2}/s} é muito menor que D_{\text{mín}}=3\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}í.
  • Fator necessário de aumento da difusividade para atingir o regime lumped:
\frac{D_{\text{mín}}}{D_{\text{eff}}}=\frac{3\times10^{-4}}{5\times10^{-11}}=6{,}0\times10^{6}.í
Ou seja, seria necessário aumentar a difusividade por um fator da ordem de 6\times10^{6}, um salto impraticável na maioria dos materiais, confirmando que o processo real será controlado pela difusão interna.

Resposta

Bi_{m}=6{,}0\times10^{5}
Hipótese de concentração uniforme no interior: inválida (não pode ser usada)
D_{\text{mín}}=3\times10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}/s}í

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