Considere um sistema composto por N partículas magnéticas, sendo que cada uma delas pode ter apenas três possíveis valores de spin, ou seja, s=-1,0,1. O hamiltoniano que descreve o sistema é dado por
H=mu sumi=1^N Si^2
Considerando que a energia do sistema seja E, obtenha:
(a) O número de microestados do sistema com energia E;
(b) A entropia do sistema;
© A energia por partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema com N partículas magnéticas, e cada partícula pode ter um spin de s = -1, 0, 1. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano:
H = mu sumi=1^N Si^2
Queremos descobrir, para uma energia E específica:
(a) Quantos microestados existem com essa energia E;
(b) Qual é a entropia do sistema;
© A energia por partícula.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de microestados, combinatória e termodinâmica básica, como a definição de entropia. Vamos seguir passo a passo!

Passo 2

Item (a): Número de microestados do sistema com energia E
Primeiro, vamos analisar o Hamiltoniano:
H = mu sumi=1^N Si^2
Como cada Si pode ser -1, 0 ou 1, o termo Si^2 pode valer:
  • Se Si = -1 ou 1, então Si^2 = 1;
  • Se Si = 0, então Si^2 = 0.
Portanto, cada partícula contribui com 0 ou 1 para a soma total. Vamos chamar de k o número de partículas que têm Si^2 = 1. Assim, a energia total E está relacionada a k por:
E = mu k
Queremos encontrar o número de maneiras de escolher quais k partículas estarão com Si^2 = 1. Isso é uma questão de combinações:
  1. Escolher k partículas dentre N: Isso é dado por binomNk.
  2. Para cada uma dessas k partículas, o spin pode ser +1 ou -1: Então, para cada partícula, há 2 opções.
Portanto, o número total de microestados Omega(E) com energia E = mu k é:
Omega(E) = binomNk times 2^k

Passo 3

Item (b): Entropia do sistema
A entropia S está relacionada ao número de microestados pelo seguinte:
S = kB ln(Omega)
Onde kB é a constante de Boltzmann. Usando a expressão que encontramos para Omega(E):
S = kB ln(binomNk times 2^k)
Podemos simplificar usando propriedades do logaritmo:
S = kB [ ln(binomNk) + ln(2^k) ] = kB [ ln(binomNk) + k ln(2) ]
Então, a entropia depende tanto das combinações de partículas com spin diferente quanto das possibilidades de cada spin.

Passo 4

Item ©: Energia por partícula
A energia por partícula epsilon é simplesmente a energia total dividida pelo número de partículas:
epsilon = EN
Sabemos que E = mu k, então:
epsilon = mu kN
Isso nos dá a energia média que cada partícula contribui para a energia total do sistema.

Resposta

(a) O número de microestados com energia E = mu k é:
Omega(E) = binomNk times 2^k
(b) A entropia do sistema é:
S = kB [ ln(binomNk) + k ln(2) ]
© A energia por partícula é:
epsilon = mu kN

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