Considere um sistema composto por
partículas magnéticas, sendo que cada uma delas pode ter apenas três possíveis valores de spin, ou seja,
. O hamiltoniano que descreve o sistema é dado por
Considerando que a energia do sistema seja
, obtenha:
(a) O número de microestados do sistema com energia
;
(b) A entropia do sistema;
© A energia por partícula.
(a) O número de microestados do sistema com energia
(b) A entropia do sistema;
© A energia por partícula.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema com
partículas magnéticas, e cada partícula pode ter um spin de
. A energia total do sistema é dada pelo Hamiltoniano:
Queremos descobrir, para uma energia
específica:
(a) Quantos microestados existem com essa energia
;
(b) Qual é a entropia do sistema;
© A energia por partícula.
Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de microestados, combinatória e termodinâmica básica, como a definição de entropia. Vamos seguir passo a passo!
Passo 2
Item (a): Número de microestados do sistema com energia
Primeiro, vamos analisar o Hamiltoniano:
Como cada
pode ser
,
ou
, o termo
pode valer:
- Se
ou , então ; - Se
, então .
Portanto, cada partícula contribui com
ou
para a soma total. Vamos chamar de
o número de partículas que têm
. Assim, a energia total
está relacionada a
por:
Queremos encontrar o número de maneiras de escolher quais
partículas estarão com
. Isso é uma questão de combinações:
- Escolher
partículas dentre : Isso é dado por . - Para cada uma dessas
partículas, o spin pode ser ou : Então, para cada partícula, há opções.
Portanto, o número total de microestados
com energia
é:
Passo 3
Item (b): Entropia do sistema
A entropia
está relacionada ao número de microestados pelo seguinte:
Onde
é a constante de Boltzmann. Usando a expressão que encontramos para
:
Podemos simplificar usando propriedades do logaritmo:
Então, a entropia depende tanto das combinações de partículas com spin diferente quanto das possibilidades de cada spin.
Passo 4
Item ©: Energia por partícula
A energia por partícula
é simplesmente a energia total dividida pelo número de partículas:
Sabemos que
, então:
Isso nos dá a energia média que cada partícula contribui para a energia total do sistema.
Resposta
(a) O número de microestados com energia
é:
(b) A entropia do sistema é:
© A energia por partícula é: