Considere uma partícula que está confinada a se mover ao longo do eixo x positivo e cujo Hamiltoniano é \hat{H}=\mathcal{E} d^{2} / d x^{2}, onde \mathcal{E} é uma constante real positiva possuindo dimensões de energia.
(a) Encontre a função de onda que corresponde a um autovalor de energia de 9 \mathcal{E} (certifiquese de que a função encontrada seja finita em todos os lugares ao longo do eixo x positivo e seja de quadrado integrável). Normalize esta função de onda.
(b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na região 0 \leq x \leq 15.
(c) A função de onda derivada em (a) é uma autofunção do operador \hat{A}=d / d x-7 ?
(d) Calcule o comutador [\hat{H}, \hat{A}].

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pegado do enunciado).
  • Dado: o Hamiltoniano é \hat{H}=\mathcal{E}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}}, com \mathcal{E}>0. A partícula está confinada ao eixo x positivo (ou seja, x\ge 0).
  • Dado: procurar a função de onda correspondente ao autovalor de energia E=9\mathcal{E}.
  • Condições impostas: a função de onda deve ser finita em todo x\ge 0 e ser de quadrado integrável (normalizável) no semi-eixo positivo.
  • Pedidos:
    (a) encontrar a função de onda associada a E=9\mathcal{E} e normalizá‑la;
    (b) calcular a probabilidade de encontrar a partícula em 0\le x\le 15;
    (c) verificar se a função de onda obtida é autofunção do operador \hat{A}=\dfrac{d}{dx}-7;
    (d) calcular o comutador [\hat{H},\hat{A}].

Passo 2

Escrevendo a equação de autovalores para o Hamiltoniano. Uma autofunção \psi(x) com autovalor E satisfaz
\hat{H}\psi(x)=E\psi(x).
Substituindo \hat{H}=\mathcal{E}\dfrac{d^{2}}{dx^{2}} e E=9\mathcal{E} obtemos a equação diferencial ordinária
\mathcal{E}\,\psi''(x)=9\mathcal{E}\,\psi(x).
Como \mathcal{E}\neq 0, podemos simplificar dividindo por \mathcal{E}:
\psi''(x)=9\,\psi(x).

Passo 3

Resolver a equação diferencial \psi''(x)=9\psi(x). Essa é uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. A equação característica é
r^{2}=9,
cuja solução dá r=3 e r=-3. Portanto a solução geral é
\psi(x)=A\,e^{3x}+B\,e^{-3x},
onde A e B são constantes complexas (ou reais).

Passo 4

Impor as condições físicas: finitude e quadrado‑integrabilidade em x\ge 0.
  • A função e^{3x} cresce exponencialmente quando x\to+\infty, então o termo A\,e^{3x} não é quadrado‑integrável em [0,\infty) e ainda diverge (não é finito para grandes x). Portanto devemos ter A=0.
  • Assim resta
\psi(x)=B\,e^{-3x},\qquad x\ge 0.
Esse comportamento decai exponencialmente para x\to\infty, é finito em todo x\ge0 e é quadrado‑integrável se B for finito.

Passo 5

Normalizar a função de onda. A condição de normalização no semi‑eixo é
\int_{0}^{\infty}|\psi(x)|^{2}\,dx=1.
Substituindo \psi(x)=B\,e^{-3x}:
\int_{0}^{\infty}|B|^{2}e^{-6x}\,dx=1.
Calcular a integral:
\int_{0}^{\infty}e^{-6x}\,dx=\left[-\frac{1}{6}e^{-6x}\right]_{0}^{\infty}=\frac{1}{6}.
Logo
|B|^{2}\cdot\frac{1}{6}=1 \quad\Rightarrow\quad |B|^{2}=6.
Podemos escolher a fase arbitrária de B; para simplicidade tomamos B=\sqrt{6} real e positivo. Assim a função de onda normalizada é
\psi(x)=\sqrt{6}\,e^{-3x},\qquad x\ge 0.

Passo 6

Calcular a probabilidade de encontrar a partícula em 0\le x\le 15. Essa probabilidade é
P(0\le x\le 15)=\int_{0}^{15}|\psi(x)|^{2}\,dx=\int_{0}^{15}6\,e^{-6x}\,dx.
Fazendo a integral:
\int_{0}^{15}6\,e^{-6x}\,dx=6\left[-\frac{1}{6}e^{-6x}\right]_{0}^{15}=1-e^{-90}.
Observação rápida: e^{-90} é astronomicamente pequeno, então numericamente a probabilidade é extremamente próxima de 1, mas exatamente é 1-e^{-90}.

Passo 7

Verificar se \psi(x) é autofunção do operador \hat{A}=\dfrac{d}{dx}-7.
  • Primeiro calcular a derivada de \psi:
\psi'(x)=-3\sqrt{6}\,e^{-3x}=-3\,\psi(x).
  • Aplicando \hat{A} em \psi:
\hat{A}\psi(x)=\psi'(x)-7\psi(x)=(-3-7)\psi(x)=-10\,\psi(x).
Isso mostra que \psi é de fato uma autofunção de \hat{A}, com autovalor -10.
(Um lembrete didático: ser autofunção de um operador significa que a aplicação do operador sobre a função produz a mesma função multiplicada por uma constante — o autovalor.)

Passo 8

Calcular o comutador [\hat{H},\hat{A}]. Por definição
[\hat{H},\hat{A}]=\hat{H}\hat{A}-\hat{A}\hat{H}.
Trabalhando com operadores diferenciais formais:
\hat{H}\hat{A}=\mathcal{E}\frac{d^{2}}{dx^{2}}\left(\frac{d}{dx}-7\right) =\mathcal{E}\left(\frac{d^{3}}{dx^{3}}-7\frac{d^{2}}{dx^{2}}\right),
e
\hat{A}\hat{H}=\left(\frac{d}{dx}-7\right)\mathcal{E}\frac{d^{2}}{dx^{2}} =\mathcal{E}\left(\frac{d^{3}}{dx^{3}}-7\frac{d^{2}}{dx^{2}}\right).
Portanto as duas composições são idênticas e o comutador é o operador nulo:
[\hat{H},\hat{A}]=0.
(Comentário pedagógico: isso acontece porque \hat{A} é um polinômio em \dfrac{d}{dx} com coeficientes constantes, assim como \hat{H}; derivadas de ordens diferentes se combinam comutativamente quando os coeficientes são constantes.)

Resposta

(a) \psi(x)=\sqrt{6}\,e^{-3x} para x\ge 0.\n
(b) P(0\le x\le 15)=1-e^{-90}.\n
(c) Sim. \hat{A}\psi=-10\,\psi (autovalor -10).\n
(d) [\hat{H},\hat{A}]=0.

Exercícios relacionados