Considere uma partícula que está confinada a se mover ao longo do eixo
positivo e cujo Hamiltoniano é
, onde
é uma constante real positiva possuindo dimensões de energia.
(a) Encontre a função de onda que corresponde a um autovalor de energia de
(certifiquese de que a função encontrada seja finita em todos os lugares ao longo do eixo
positivo e seja de quadrado integrável). Normalize esta função de onda.
(b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na região
.
(c) A função de onda derivada em (a) é uma autofunção do operador
?
(d) Calcule o comutador
.
(a) Encontre a função de onda que corresponde a um autovalor de energia de
(b) Calcule a probabilidade de encontrar a partícula na região
(c) A função de onda derivada em (a) é uma autofunção do operador
(d) Calcule o comutador
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo pegado do enunciado).
- Dado: o Hamiltoniano é
, com . A partícula está confinada ao eixo positivo (ou seja, ). - Dado: procurar a função de onda correspondente ao autovalor de energia
. - Condições impostas: a função de onda deve ser finita em todo
e ser de quadrado integrável (normalizável) no semi-eixo positivo. - Pedidos:
(a) encontrar a função de onda associada ae normalizá‑la;
(b) calcular a probabilidade de encontrar a partícula em;
(c) verificar se a função de onda obtida é autofunção do operador;
(d) calcular o comutador.
Passo 2
Escrevendo a equação de autovalores para o Hamiltoniano. Uma autofunção
com autovalor
satisfaz
Substituindo
e
obtemos a equação diferencial ordinária
Como
, podemos simplificar dividindo por
:
Passo 3
Resolver a equação diferencial
. Essa é uma EDO linear homogênea com coeficientes constantes. A equação característica é
cuja solução dá
e
. Portanto a solução geral é
onde
e
são constantes complexas (ou reais).
Passo 4
Impor as condições físicas: finitude e quadrado‑integrabilidade em
.
- A função
cresce exponencialmente quando , então o termo não é quadrado‑integrável em e ainda diverge (não é finito para grandes ). Portanto devemos ter . - Assim resta
Esse comportamento decai exponencialmente para
, é finito em todo
e é quadrado‑integrável se
for finito.
Passo 5
Normalizar a função de onda. A condição de normalização no semi‑eixo é
Substituindo
:
Calcular a integral:
Logo
Podemos escolher a fase arbitrária de
; para simplicidade tomamos
real e positivo. Assim a função de onda normalizada é
Passo 6
Calcular a probabilidade de encontrar a partícula em
. Essa probabilidade é
Fazendo a integral:
Observação rápida:
é astronomicamente pequeno, então numericamente a probabilidade é extremamente próxima de
, mas exatamente é
.
Passo 7
Verificar se
é autofunção do operador
.
- Primeiro calcular a derivada de
:
- Aplicando
em :
Isso mostra que
é de fato uma autofunção de
, com autovalor
.
(Um lembrete didático: ser autofunção de um operador significa que a aplicação do operador sobre a função produz a mesma função multiplicada por uma constante — o autovalor.)
Passo 8
Calcular o comutador
. Por definição
Trabalhando com operadores diferenciais formais:
e
Portanto as duas composições são idênticas e o comutador é o operador nulo:
(Comentário pedagógico: isso acontece porque
é um polinômio em
com coeficientes constantes, assim como
; derivadas de ordens diferentes se combinam comutativamente quando os coeficientes são constantes.)
Resposta
(a)
para
.\n
(b) .\n
(c) Sim. (autovalor
).\n
(d) .
(b)
(c) Sim.
(d)