O Hamiltoniano de um sistema de dois estados é dado por
\hat{H}=E\left(\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|-\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|-i\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|+i\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\right),
onde \left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle formam uma base completa e ortonormal; E é uma constante real possuindo dimensões de energia.
(a) \hat{H} é Hermitiano? Calcule o traço de \hat{H}.
(b) Encontre a matriz que representa \hat{H} na base \left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle e calcule os autovalores e os autovetores da matriz. Calcule o traço da matriz e compare-o com o resultado obtido em (a).
(c) Calcule \left[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\right],\left[\hat{H},\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\right] e \left[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\right].

Passo 1

O enunciado dá o operador Hamiltoniano
\hat{H}=E\Big(\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|-\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|-i\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|+i\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\Big),
onde \left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle formam uma base ortonormal completa e E é real. O que o enunciado pede:
(a) Verificar se \hat{H} é Hermitiano e calcular \operatorname{tr}(\hat{H}).
(b) Escrever a matriz de \hat{H} na base \{\left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle\}, encontrar autovalores e autovetores dessa matriz e calcular o traço da matriz para comparar com (a).
(c) Calcular os comutadores \big[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\big], \big[\hat{H},\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\big] e \big[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\big].
Lista das informações relevantes dadas:
  • A base é ortonormal: \langle\phi_i|\phi_j\rangle=\delta_{ij}.
  • Operadores do tipo \left|\phi_{a}\right\rangle\left\langle\phi_{b}\right| são dyads com propriedades úteis: \big(\left|\phi_{a}\right\rangle\left\langle\phi_{b}\right|\big)^\dagger=\left|\phi_{b}\right\rangle\left\langle\phi_{a}\right| e \operatorname{tr}\big(\left|\phi_{a}\right\rangle\left\langle\phi_{b}\right|\big)=\langle\phi_b|\phi_a\rangle.
  • E é real.

Passo 2

(a) Teste de Hermiticidade e cálculo do traço — conceitos rápidos antes de aplicar:
  • Um operador \hat{O} é Hermitiano se \hat{O}^\dagger=\hat{O}. Para dyads vale \big(\left|\phi_a\right\rangle\left\langle\phi_b\right|\big)^\dagger=\left|\phi_b\right\rangle\left\langle\phi_a\right| e escalares complexos se conjugam ao tomar adjunto.
  • Traço de um operador é a soma dos elementos diagonais numa base ortonormal ou, para dyads, \operatorname{tr}(\left|\phi_a\right\rangle\left\langle\phi_b\right|)=\langle\phi_b|\phi_a\rangle.
Agora aplico essas regras ao operador dado.
Calcular \hat{H}^\dagger. Usando linearidade e as propriedades de adjunto:
\begin{aligned} \hat{H}^\dagger &= E\Big(\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|-\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|-i\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|+i\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\Big)^\dagger\\[4pt] &= E\Big(\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|-\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|+i\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|-i\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\Big). \end{aligned}
Reordenando os termos vê-se que isso é exatamente \hat{H} (os termos -i\left|\phi_1\right\rangle\left\langle\phi_2\right| e i\left|\phi_2\right\rangle\left\langle\phi_1\right| trocam posição e conjugam-se, retornando os mesmos termos presentes originalmente). Logo
\hat{H}^\dagger=\hat{H},
portanto \hat{H} é Hermitiano.
Cálculo do traço usando a propriedade do dyad:
\operatorname{tr}(\hat{H})=E\Big(\operatorname{tr}(\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|)-\operatorname{tr}(\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|)-i\operatorname{tr}(\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|)+i\operatorname{tr}(\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|)\Big).
Agora \operatorname{tr}(\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|)=\langle\phi_1|\phi_1\rangle=1, \operatorname{tr}(\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|)=1, e \operatorname{tr}(\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|)=\langle\phi_2|\phi_1\rangle=0, \operatorname{tr}(\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|)=0. Portanto
\operatorname{tr}(\hat{H})=E(1-1- i\cdot 0 + i\cdot 0)=0.]

Passo 3

(b) Matriz de \hat{H} na base \{\left|\phi_{1}\right\rangle,\left|\phi_{2}\right\rangle\} — metodologia:
  • A matriz tem entradas H_{ij}=\langle\phi_i|\hat{H}|\phi_j\rangle.
  • Uma forma prática é aplicar \hat{H} sobre os vetores da base e ler as colunas da matriz como as componentes dos resultados nessa base.
Aplicando \hat{H} nos vetores da base (uso a expressão original e ortonormalidade):
\begin{aligned} \hat{H}\left|\phi_1\right\rangle &= E\Big(\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1|\phi_1\rangle-\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_2|\phi_1\rangle-i\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|\phi_1\rangle+i\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_1|\phi_1\rangle\Big)\\[4pt] &= E\big(\left|\phi_1\right\rangle + i\left|\phi_2\right\rangle\big), \end{aligned}
pois \langle\phi_1|\phi_1\rangle=1, \langle\phi_2|\phi_1\rangle=0, \langle\phi_2|\phi_1\rangle=0, \langle\phi_1|\phi_1\rangle=1.
De modo análogo,
\begin{aligned} \hat{H}\left|\phi_2\right\rangle &= E\Big(\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1|\phi_2\rangle-\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_2|\phi_2\rangle-i\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|\phi_2\rangle+i\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_1|\phi_2\rangle\Big)\\[4pt] &= E\big(-i\left|\phi_1\right\rangle -\left|\phi_2\right\rangle\big). \end{aligned}
Então, escrevendo as colunas (coeficientes na base \{\left|\phi_1\right\rangle,\left|\phi_2\right\rangle\}):
  • Coluna 1 (imagem de |\phi_1\rangle): \begin{pmatrix}E\\[2pt] iE\end{pmatrix}.
  • Coluna 2 (imagem de |\phi_2\rangle): \begin{pmatrix}-iE\\[2pt]-E\end{pmatrix}.
Logo a matriz de \hat{H} é
\mathbf{H}=E\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] i & -1\end{pmatrix}.
Agora os autovalores e autovetores da matriz. É conveniente dividir por E e achar os autovalores de
A=\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] i & -1\end{pmatrix},
depois multiplicar por E. Seja \mu autovalor de A. O polinômio característico:
\det(A-\mu I)=\det\begin{pmatrix}1-\mu & -i\\[4pt] i & -1-\mu\end{pmatrix}=(1-\mu)(-1-\mu)-(-i)(i).
Calculo dos termos:
(1-\mu)(-1-\mu)=-(1-\mu)(1+\mu)=-(1-\mu^2), \quad (-i)(i)=-i^2=1.
Portanto
\det(A-\mu I)=-(1-\mu^2)-1=\mu^2-2.
Assim \mu^2-2=0\Rightarrow \mu=\pm\sqrt{2}. Os autovalores de \mathbf{H} são \lambda=E\mu, ou seja
\lambda_{+}=E\sqrt{2},\qquad \lambda_{-}=-E\sqrt{2}.
Agora os autovetores (você pode aceitar vetores não normalizados; mostro um procedimento simples). Resolver (A-\mu I)\begin{pmatrix}a\\\ b\end{pmatrix}=0.
Para \mu=\sqrt{2} a primeira equação dá
(1-\sqrt{2})a - i b =0 \quad\Rightarrow\quad b = -i(1-\sqrt{2})a.
Tomando a=1 obtemos o autovetor (não normalizado)
v_{+}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i(1-\sqrt{2})\end{pmatrix}.
Multiplicando por i (ficar com segunda componente real) é equivalente escolher o autovetor
v_{+}'=\begin{pmatrix}i\\[4pt] 1-\sqrt{2}\end{pmatrix}.
Para \mu=-\sqrt{2} obtemos
(1+\sqrt{2})a - i b =0 \quad\Rightarrow\quad b = -i(1+\sqrt{2})a.
Tomando a=1,
v_{-}=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -i(1+\sqrt{2})\end{pmatrix},
ou, multiplicando por i,
v_{-}'=\begin{pmatrix}i\\[4pt] 1+\sqrt{2}\end{pmatrix}.
Pode-se normalizar dividindo por suas normas (normas dadas por \sqrt{1+(1\mp\sqrt{2})^2}), se for necessário em prova. Note também que a soma dos autovalores é E\sqrt{2}+(-E\sqrt{2})=0, igual ao traço da matriz \operatorname{tr}(\mathbf{H})=E(1-1)=0, em concordância com o resultado em (a).]

Passo 4

(c) Cálculo dos comutadores — estratégia e propriedades usadas:
  • Para qualquer operador \hat{A} e dyad |u\rangle\langle v| vale \hat{A}|u\rangle\langle v|=(\hat{A}|u\rangle)\langle v| e |u\rangle\langle v|\hat{A}=|u\rangle(\langle v|\hat{A}). Assim podemos calcular [\hat{H},X]=\hat{H}X-X\hat{H} aplicando \hat{H} em kets da base e usando os resultados já obtidos.
Recordo resultados úteis (já calculados):
\hat{H}\left|\phi_1\right\rangle=E\big(\left|\phi_1\right\rangle+i\left|\phi_2\right\rangle\big), \qquad \hat{H}\left|\phi_2\right\rangle=E\big(-i\left|\phi_1\right\rangle-\left|\phi_2\right\rangle\big).
Agora cada comutador.
  1. \big[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\big].
Calculo \hat{H}\left|\phi_1\right\rangle\left\langle\phi_1\right|=(\hat{H}\left|\phi_1\right\rangle)\langle\phi_1|=E\big(\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1|+i\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_1|\big).
Calculo \left|\phi_1\right\rangle\left\langle\phi_1\right|\hat{H}=\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1|\hat{H}. Usando a expressão de \hat{H} e projeções, obtém-se
\left|\phi_1\right\rangle\left\langle\phi_1\right|\hat{H}=E\big(\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1|-i\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|\big).
Subtraindo:
\begin{aligned} \big[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\big] &=E\big(\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1|+i\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_1| -\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1| + i\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|\big)\\[4pt] &=iE\big(\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_1|+\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|\big). \end{aligned}
  1. \big[\hat{H},\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\big].
Calculo \hat{H}\left|\phi_2\right\rangle\left\langle\phi_2\right|=(\hat{H}\left|\phi_2\right\rangle)\langle\phi_2|=E\big(-i\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|-\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_2|\big).
Calculo \left|\phi_2\right\rangle\left\langle\phi_2\right|\hat{H}=E\big(-\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_2|+i\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_1|\big).
Subtraindo:
\begin{aligned} \big[\hat{H},\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\big] &=E\big(-i\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|-\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_2| +\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_2| - i\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_1|\big)\\[4pt] &=-iE\big(\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|+\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_1|\big). \end{aligned}
  1. \big[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\big].
Calculo \hat{H}\left|\phi_1\right\rangle\left\langle\phi_2\right|=(\hat{H}\left|\phi_1\right\rangle)\langle\phi_2|=E\big(\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|+i\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_2|\big).
Calculo \left|\phi_1\right\rangle\left\langle\phi_2\right|\hat{H}=| \phi_1\rangle(\langle\phi_2|\hat{H}). Mais direto: multiplicando os dyads da expressão de \hat{H},
\left|\phi_1\right\rangle\left\langle\phi_2\right|\hat{H}=E\big(-\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|+i\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1|\big).
Subtraindo:
\begin{aligned} \big[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\big] &=E\big(\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|+i\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_2| -(-\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2|+i\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1|)\big)\\[4pt] &=E\big(2\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_2| + i\left(\left|\phi_2\right\rangle\langle\phi_2|-\left|\phi_1\right\rangle\langle\phi_1|\right)\big). \end{aligned}
Esses são os comutadores pedidos, escritos em termos dos dyads da base.]

Resposta

(a) \hat{H} é Hermitiano ( \hat{H}^\dagger=\hat{H}). \operatorname{tr}(\hat{H})=0.
(b) A matriz na base \{\left|\phi_1\right\rangle,\left|\phi_2\right\rangle\} é
\mathbf{H}=E\begin{pmatrix}1 & -i\\[4pt] i & -1\end{pmatrix}.
Os autovalores são \lambda_{+}=E\sqrt{2} e \lambda_{-}=-E\sqrt{2}. Autovetores (não normalizados) correspondentes podem ser tomados como
v_{+}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i(1-\sqrt{2})\end{pmatrix},\qquad v_{-}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i(1+\sqrt{2})\end{pmatrix},
ou, alternativamente, v_{+}'=\begin{pmatrix}i\\[4pt]1-\sqrt{2}\end{pmatrix} e v_{-}'=\begin{pmatrix}i\\[4pt]1+\sqrt{2}\end{pmatrix}. O traço da matriz é \operatorname{tr}(\mathbf{H})=E(1-1)=0, igual ao resultado em (a).
(c)
\big[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\big]=iE\big(\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|+\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\big),
\big[\hat{H},\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\big]=-iE\big(\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|+\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\big),
\big[\hat{H},\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|\big]=E\Big(2\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|+i\big(\left|\phi_{2}\right\rangle\left\langle\phi_{2}\right|-\left|\phi_{1}\right\rangle\left\langle\phi_{1}\right|\big)\Big).]

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