O Hamiltoniano de um sistema de dois estados é dado por
onde
formam uma base completa e ortonormal;
é uma constante real possuindo dimensões de energia.
(a)
é Hermitiano? Calcule o traço de
.
(b) Encontre a matriz que representa
na base
e calcule os autovalores e os autovetores da matriz. Calcule o traço da matriz e compare-o com o resultado obtido em (a).
(c) Calcule
e
.
(a)
(b) Encontre a matriz que representa
(c) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o operador Hamiltoniano
onde
formam uma base ortonormal completa e
é real. O que o enunciado pede:
(a) Verificar se
é Hermitiano e calcular
.
(b) Escrever a matriz de
na base
, encontrar autovalores e autovetores dessa matriz e calcular o traço da matriz para comparar com (a).
(c) Calcular os comutadores
,
e
.
Lista das informações relevantes dadas:
- A base é ortonormal:
. - Operadores do tipo
são dyads com propriedades úteis: e . -
é real.
Passo 2
(a) Teste de Hermiticidade e cálculo do traço — conceitos rápidos antes de aplicar:
- Um operador
é Hermitiano se . Para dyads vale e escalares complexos se conjugam ao tomar adjunto. - Traço de um operador é a soma dos elementos diagonais numa base ortonormal ou, para dyads,
.
Agora aplico essas regras ao operador dado.
Calcular
. Usando linearidade e as propriedades de adjunto:
Reordenando os termos vê-se que isso é exatamente
(os termos
e
trocam posição e conjugam-se, retornando os mesmos termos presentes originalmente). Logo
portanto
é Hermitiano.
Cálculo do traço usando a propriedade do dyad:
Agora
,
, e
,
. Portanto
Passo 3
(b) Matriz de
na base
— metodologia:
- A matriz tem entradas
. - Uma forma prática é aplicar
sobre os vetores da base e ler as colunas da matriz como as componentes dos resultados nessa base.
Aplicando
nos vetores da base (uso a expressão original e ortonormalidade):
pois
,
,
,
.
De modo análogo,
Então, escrevendo as colunas (coeficientes na base
):
- Coluna 1 (imagem de
): . - Coluna 2 (imagem de
): .
Logo a matriz de
é
Agora os autovalores e autovetores da matriz. É conveniente dividir por
e achar os autovalores de
depois multiplicar por
. Seja
autovalor de
. O polinômio característico:
Calculo dos termos:
Portanto
Assim
. Os autovalores de
são
, ou seja
Agora os autovetores (você pode aceitar vetores não normalizados; mostro um procedimento simples). Resolver
.
Para
a primeira equação dá
Tomando
obtemos o autovetor (não normalizado)
Multiplicando por
(ficar com segunda componente real) é equivalente escolher o autovetor
Para
obtemos
Tomando
,
ou, multiplicando por
,
Pode-se normalizar dividindo por suas normas (normas dadas por
), se for necessário em prova. Note também que a soma dos autovalores é
, igual ao traço da matriz
, em concordância com o resultado em (a).]
Passo 4
(c) Cálculo dos comutadores — estratégia e propriedades usadas:
- Para qualquer operador
e dyad vale e . Assim podemos calcular aplicando em kets da base e usando os resultados já obtidos.
Recordo resultados úteis (já calculados):
Agora cada comutador.
-
.
Calculo
Calculo
. Usando a expressão de
e projeções, obtém-se
Subtraindo:
-
.
Calculo
Calculo
Subtraindo:
-
.
Calculo
Calculo
. Mais direto: multiplicando os dyads da expressão de
,
Subtraindo:
Esses são os comutadores pedidos, escritos em termos dos dyads da base.]
Resposta
(a)
é Hermitiano (
).
(b) A matriz na base
é
Os autovalores são
e
. Autovetores (não normalizados) correspondentes podem ser tomados como
ou, alternativamente,
e
. O traço da matriz é
, igual ao resultado em (a).
(c)