Exercício 3.13 Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto a indicado:
f(x)=\frac{3}{x+2}, quad a=-2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{3}{x+2} e pede para verificar se ela é contínua no ponto a=-2.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é f(x)=\dfrac{3}{x+2}.
  • O ponto a ser analisado é a=-2.
  • A pergunta é: “é contínua em a=-2?”

Passo 2

Definição prática de continuidade num ponto (passo-a-passo, sem jargão): para a função f ser contínua no ponto a precisamos que as três condições abaixo ocorram simultaneamente:
  1. f(a) esteja definida (ou seja, exista um valor numérico atribuído a f em x=a).
  2. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) exista (como um número finito).
  3. \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)=f(a).
    Se qualquer uma dessas condições falhar, f não é contínua em a. Vou checar cada uma explicitamente para a=-2.

Passo 3

Verificar a condição 1 (se f(a) está definida). Calcular o valor do denominador em x=-2:
x+2 \Big|_{x=-2} = -2+2 = 0.
Logo
f(-2)=\frac{3}{-2+2}=\frac{3}{0},
que não é um número definido na aritmética usual. Portanto f(-2) não está definida. Como a condição 1 falha, já podemos concluir que f não é contínua em a=-2. Mas vou continuar e analisar o comportamento dos limites para classificar a descontinuidade (útil para a prova).

Passo 4

Analisar os limites laterais para entender o tipo de descontinuidade.
Aproximação pela esquerda ( x\to -2^{-}): escreva x=-2-h com h>0 pequeno. Então
x+2 = -h < 0\quad\text{(número negativo e pequeno)},ú
e
f(x)=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{-h} \to -\infty\quad\text{quando }h\to 0^{+}.
Portanto
\lim_{x\to -2^{-}} f(x) = -\infty.
Aproximação pela direita ( x\to -2^{+}): escreva x=-2+h com h>0 pequeno. Então
x+2 = h > 0\quad\text{(número positivo e pequeno)},ú
e
f(x)=\frac{3}{x+2}=\frac{3}{h} \to +\infty\quad\text{quando }h\to 0^{+}.
Portanto
\lim_{x\to -2^{+}} f(x) = +\infty.
Como os limites laterais não são finitos (são infinitos) e ainda por cima têm sinais opostos, o limite \displaystyle \lim_{x\to -2} f(x) não existe como número finito. Isso confirma e descreve a descontinuidade.

Passo 5

Conclusão e interpretação para a prova: f(-2) não está definida, e \lim_{x\to -2} f(x) não existe (os limites laterais divergem para -\infty e +\infty). Logo f não é contínua em a=-2. Esta é uma descontinuidade do tipo infinito (ou seja, há uma assíntota vertical em x=-2).

Resposta

Não. f não é contínua em a=-2 (descontinuidade do tipo infinito, assíntota vertical em x=-2).

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