Use as relações para avaliar as seguintes integrais envolvendo a função delta de Dirac:
\int_{0}^{2 \pi} \cos ^{2} \theta \delta[(\theta-\pi) / 4] d \theta.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar a integral
\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta \,\delta\!\left(\frac{\theta-\pi}{4}\right)\,d\theta.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos^{2}\theta multiplicado pela função delta de Dirac com argumento \dfrac{\theta-\pi}{4}.
  • O intervalo de integração é [0,2\pi].
  • A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral.

Passo 2

Vamos lembrar duas propriedades essenciais da delta de Dirac que usaremos (explicadas de forma prática):
  1. Propriedade de amostragem (sifting property): para uma função suave f(x) e uma raiz simples x_0 de uma função g tal que g(x_0)=0,
\int f(x)\,\delta(x-x_0)\,dx = f(x_0),
desde que x_0 pertença ao intervalo de integração. Isso significa que a delta “pega” o valor de f no ponto onde o argumento é zero.
  1. Regra de escala: se a é constante não nula, tem-se
\delta(a x) = \frac{1}{|a|}\,\delta(x).
Uma maneira intuitiva de ver isso é fazendo a mudança de variável u=ax numa integral com \delta(ax) e exigindo que a integral seja compatível com a propriedade de amostragem.

Passo 3

Aplique a regra de escala ao argumento da delta no nosso problema. Aqui o argumento é \dfrac{\theta-\pi}{4}. Interpretando como a x com x=\theta-\pi e a=\dfrac{1}{4}, obtemos
\delta\!\left(\frac{\theta-\pi}{4}\right) = 4\,\delta(\theta-\pi),
pois \dfrac{1}{|1/4|}=4. Esta relação é válida como identidade entre distribuições.

Passo 4

Substituindo essa igualdade na integral, obtemos
\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta \,\delta\!\left(\frac{\theta-\pi}{4}\right)\,d\theta = \int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta \,\bigl(4\,\delta(\theta-\pi)\bigr)\,d\theta = 4\int_{0}^{2\pi} \cos^{2}\theta \,\delta(\theta-\pi)\,d\theta.
Agora aplicamos a propriedade de amostragem com f(\theta)=\cos^{2}\theta e x_0=\pi. Como \pi\in[0,2\pi], a integral reduz a
4\cdot \cos^{2}(\pi).

Passo 5

Calcule \cos^{2}(\pi). Sabendo que \cos(\pi)=-1, tem-se
\cos^{2}(\pi)=(-1)^{2}=1.
Portanto o valor da integral é 4\cdot 1 = 4.

Passo 6

(Verificação alternativa rápida por mudança de variável) Faça u=(\theta-\pi)/4, então d\theta=4\,du. Os limites correspondentes não importam porque a delta concentra tudo em u=0. A integral vira
\int \cos^{2}(4u+\pi)\,\delta(u)\,4\,du = 4\cos^{2}(\pi)=4,
confirmando o resultado.

Resposta

4

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