Use as relações para avaliar as seguintes integrais envolvendo a função delta de Dirac:
.
Passo 1
O enunciado pede para avaliar a integral
Informações dadas:
- O integrando é
multiplicado pela função delta de Dirac com argumento . - O intervalo de integração é
. - A pergunta é: calcular o valor numérico dessa integral.
Passo 2
Vamos lembrar duas propriedades essenciais da delta de Dirac que usaremos (explicadas de forma prática):
- Propriedade de amostragem (sifting property): para uma função suave
e uma raiz simples de uma função tal que ,
desde que
pertença ao intervalo de integração. Isso significa que a delta “pega” o valor de
no ponto onde o argumento é zero.
- Regra de escala: se
é constante não nula, tem-se
Uma maneira intuitiva de ver isso é fazendo a mudança de variável
numa integral com
e exigindo que a integral seja compatível com a propriedade de amostragem.
Passo 3
Aplique a regra de escala ao argumento da delta no nosso problema. Aqui o argumento é
. Interpretando como
com
e
, obtemos
pois
. Esta relação é válida como identidade entre distribuições.
Passo 4
Substituindo essa igualdade na integral, obtemos
Agora aplicamos a propriedade de amostragem com
e
. Como
, a integral reduz a
Passo 5
Calcule
. Sabendo que
, tem-se
Portanto o valor da integral é
.
Passo 6
(Verificação alternativa rápida por mudança de variável) Faça
, então
. Os limites correspondentes não importam porque a delta concentra tudo em
. A integral vira
confirmando o resultado.