Responda os itens a seguir:
Considere as funções f(x)=x^2+1 e g(x)=-2 x+3. Calcule f circ g e g circ f e, em seguida, determine a imagem de g circ f.

Passo 1

O enunciado define as funções f(x)=x^2+1 e g(x)=-2x+3. O conteúdo é composição de funções e determinação de imagem de função polinomial do 2º grau. Vamos usar a definição de composição e análise da parábola para encontrar a imagem.

Passo 2

Para calcular fcirc g, substituímos g(x) em f:
f(g(x))=( -2x + 3)^2 + 1 = 4x^2 - 12x + 9 + 1 = 4x^2 - 12x + 10

Passo 3

Para calcular gcirc f, substituímos f(x) em g:
g(f(x)) = -2,(x^2 + 1) + 3 = -2x^2 - 2 + 3 = -2x^2 + 1

Passo 4

Para determinar a imagem de gcirc f, note que g(f(x))=-2x^2+1 é uma parábola voltada para baixo (coeficiente -2<0). O vértice ocorre em x=0, e o valor máximo é
g(f(0)) = -2cdot0^2 + 1 = 1
Logo, a imagem é o intervalo .

Resposta

f\circ g(x)=4x^2-12x+10; g\circ f(x)=-2x^2+1; imagem de g\circ f: (-∞,1].

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