Considere uma partícula cujo estado quântico é descrito pela função de onda
com
. Calcule
e
para a partícula e obtenha a relação de incerteza para essas duas quantidades.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! A questão nos dá a função de onda de uma partícula e pede para calcularmos as incertezas em posição (
) e em momento (
), além de verificar a relação de incerteza entre elas. Para isso, vamos precisar entender conceitos como função de onda, expectativa de operadores, e a relação de incerteza de Heisenberg.
Passo 2
Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é expresso por:
Como a função de onda é zero fora do intervalo
, a integral fica:
Passo 3
Vamos resolver a integral para encontrar o valor de
. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Utilizando a identidade trigonométrica
, temos:
Passo 4
Vamos calcular a integral:
Avaliar nos limites
e
:
No primeiro termo:
No segundo termo,
e
, então esse termo desaparece.
Portanto:
Passo 5
Agora que encontramos
, podemos prosseguir para calcular
. A expectativa de
é dada por:
Como
é zero fora de
, a integral fica:
Substituindo
:
Passo 6
Observando a função sob a integral, percebemos que
é uma função ímpar (pois
quando
) e
é uma função par. O produto de uma função ímpar e uma par é ímpar, e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero.
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos calcular
:
Usando novamente a identidade trigonométrica:
Substituímos:
Passo 8
Vamos dividir a integral em duas partes:
A primeira integral é simples:
A segunda integral, devido ao fator
e
sendo uma função par, pode ser resolvida usando integração por partes ou tabelas de integrais. O resultado dessa integral será zero devido à simetria da função e aos limites de integração.
Portanto:
Passo 9
Com
e
, a incerteza em posição é:
Passo 10
Agora, vamos calcular a incerteza em momento,
. Primeiro, precisamos calcular
e
.
O operador momento é dado por:
Então,
Passo 11
Substituindo
:
A derivada é:
Então:
Passo 12
Usamos a identidade trigonométrica:
Aplicando:
A integral de
sobre
a
é zero, pois é uma função ímpar.
Portanto:
Passo 13
Agora, vamos calcular
:
O operador
é:
Então:
Passo 14
Calculamos a segunda derivada:
Substituindo:
Simplificando os sinais:
Passo 15
Já sabemos que:
Portanto:
Passo 16
Com
e
, a incerteza em momento é:
Passo 17
Finalmente, vamos verificar a relação de incerteza de Heisenberg, que afirma:
Substituindo nossos valores:
Comparando com
, vemos que:
O que confirma a relação de incerteza de Heisenberg.
Resposta
A incerteza em posição é
e a incerteza em momento é
. A relação de incerteza estabelecida é
, confirmando a relação de incerteza de Heisenberg.