Considere uma partícula cujo estado quântico é descrito pela função de onda
Psi(x, t)=rll A sin (3 pi xa) cdot e^-i omega t, & para & -a / 2+a / 2
com omega=Ehbar. Calcule lang<=De e lang<=De para a partícula e obtenha a relação de incerteza para essas duas quantidades.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mecânica quântica juntos! A questão nos dá a função de onda de uma partícula e pede para calcularmos as incertezas em posição ( lang<=De) e em momento ( lang<=De), além de verificar a relação de incerteza entre elas. Para isso, vamos precisar entender conceitos como função de onda, expectativa de operadores, e a relação de incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Primeiro, precisamos garantir que a função de onda está normalizada. Isso significa que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço deve ser igual a 1. Matemáticamente, isso é expresso por:
integral-infty^+infty |Psi(x, t)|^2 dx = 1
Como a função de onda é zero fora do intervalo -a/2 < x < a/2, a integral fica:
integral-a/2^a/2 |A sin(3pi xa)|^2 dx = 1

Passo 3

Vamos resolver a integral para encontrar o valor de A. Sabemos que:
|A sin(3pi xa)|^2 = A^2 sin^2(3pi xa)
Então, a integral fica:
A^2 integral-a/2^a/2 sin^2(3pi xa) dx = 1
Utilizando a identidade trigonométrica sin^2 theta = 1 - cos 2theta2, temos:
A^2 integral-a/2^a/2 1 - cos(6pi xa)2 dx = 1

Passo 4

Vamos calcular a integral:
A^2 [ x2 - a12pi sin(6pi xa) ]-a/2^a/2 = 1
Avaliar nos limites x = a/2 e x = -a/2:
No primeiro termo:
a/22 - (-a/2)2 = a4 + a4 = a2
No segundo termo, sin(6pi (a/2)a) = sin(3pi) = 0 e sin(6pi (-a/2)a) = sin(-3pi) = 0, então esse termo desaparece.
Portanto:
A^2 cdot a2 = 1 implies A^2 = 2a implies A = raiz2a

Passo 5

Agora que encontramos A = raiz2a, podemos prosseguir para calcular lang<= x rang<=. A expectativa de x é dada por:
lang<= x rang<= = integral-infty^+infty x |Psi(x, t)|^2 dx
Como Psi(x, t) é zero fora de -a/2 < x < a/2, a integral fica:
lang<= x rang<= = integral-a/2^a/2 x A^2 sin^2(3pi xa) dx
Substituindo A^2 = 2a:
lang<= x rang<= = 2a integral-a/2^a/2 x sin^2(3pi xa) dx

Passo 6

Observando a função sob a integral, percebemos que x é uma função ímpar (pois x to -x quando x to -x) e sin^2(3pi xa) é uma função par. O produto de uma função ímpar e uma par é ímpar, e a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico em torno de zero é zero.
Portanto:
lang<= x rang<= = 0

Passo 7

Agora, vamos calcular lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral-infty^+infty x^2 |Psi(x, t)|^2 dx = 2a integral-a/2^a/2 x^2 sin^2(3pi xa) dx
Usando novamente a identidade trigonométrica:
sin^2 theta = 1 - cos 2theta2
Substituímos:
lang<= x^2 rang<= = 2a integral-a/2^a/2 x^2 cdot 1 - cos(6pi xa)2 dx = 1a integral-a/2^a/2 x^2 (1 - cos(6pi xa)) dx

Passo 8

Vamos dividir a integral em duas partes:
lang<= x^2 rang<= = 1a [ integral-a/2^a/2 x^2 dx - integral-a/2^a/2 x^2 cos(6pi xa) dx ]
A primeira integral é simples:
integral-a/2^a/2 x^2 dx = 2 integral0^a/2 x^2 dx = 2 cdot [ x^33 ]0^a/2 = 2 cdot (a/2)^33 = a^312
A segunda integral, devido ao fator cos(6pi xa) e x^2 sendo uma função par, pode ser resolvida usando integração por partes ou tabelas de integrais. O resultado dessa integral será zero devido à simetria da função e aos limites de integração.
Portanto:
lang<= x^2 rang<= = 1a cdot a^312 = a^212

Passo 9

Com lang<= x rang<= = 0 e lang<= x^2 rang<= = a^212, a incerteza em posição é:
lang<= De

Passo 10

Agora, vamos calcular a incerteza em momento, lang<= De. Primeiro, precisamos calcular lang<= p rang<= e lang<= p^2 rang<=.
O operador momento é dado por:
p = -ihbar ddx
Então,
lang<= p rang<= = integral-infty^+infty Psi^*(x, t) (-ihbar ddx) Psi(x, t) dx

Passo 11

Substituindo Psi(x, t) = raiz2a sin(3pi xa) e^-iomega t:
lang<= p rang<= = -ihbar 2a integral-a/2^a/2 sin(3pi xa) ddx sin(3pi xa) dx
A derivada é:
ddx sin(3pi xa) = 3pia cos(3pi xa)
Então:
lang<= p rang<= = -ihbar 2a cdot 3pia integral-a/2^a/2 sin(3pi xa) cos(3pi xa) dx

Passo 12

Usamos a identidade trigonométrica:
sin theta cos theta = sin 2theta2
Aplicando:
lang<= p rang<= = -ihbar 6pia^2 cdot 12 integral-a/2^a/2 sin(6pi xa) dx
A integral de sin(6pi xa) sobre -a/2 a a/2 é zero, pois é uma função ímpar.
Portanto:
lang<= p rang<= = 0

Passo 13

Agora, vamos calcular lang<= p^2 rang<=:
lang<= p^2 rang<= = integral-infty^+infty Psi^*(x, t) p^2 Psi(x, t) dx
O operador p^2 é:
p^2 = (-ihbar)^2 d^2dx^2 = -hbar^2 d^2dx^2
Então:
lang<= p^2 rang<= = -hbar^2 2a integral-a/2^a/2 sin(3pi xa) d^2dx^2 sin(3pi xa) dx

Passo 14

Calculamos a segunda derivada:
d^2dx^2 sin(3pi xa) = -(3pia)^2 sin(3pi xa)
Substituindo:
lang<= p^2 rang<= = -hbar^2 2a cdot (-(3pia)^2) integral-a/2^a/2 sin^2(3pi xa) dx
Simplificando os sinais:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 2a (9pi^2a^2) integral-a/2^a/2 sin^2(3pi xa) dx

Passo 15

Já sabemos que:
integral-a/2^a/2 sin^2(3pi xa) dx = a2
Portanto:
lang<= p^2 rang<= = hbar^2 2a cdot 9pi^2a^2 cdot a2 = 9pi^2 hbar^2a^2

Passo 16

Com lang<= p rang<= = 0 e lang<= p^2 rang<= = 9pi^2 hbar^2a^2, a incerteza em momento é:
lang<= De

Passo 17

Finalmente, vamos verificar a relação de incerteza de Heisenberg, que afirma:
lang<= De= hbar^24
Substituindo nossos valores:
a^212 cdot 9pi^2 hbar^2a^2 = 9pi^2 hbar^212 = 3pi^2 hbar^24
Comparando com hbar^24, vemos que:
3pi^2 hbar^24 >= hbar^24
O que confirma a relação de incerteza de Heisenberg.

Resposta

A incerteza em posição é lang<=De e a incerteza em momento é lang<=De. A relação de incerteza estabelecida é lang<=De= hbar^24, confirmando a relação de incerteza de Heisenberg.

Exercícios relacionados