OBS: JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Um cilindro sólido de massa M e raio R inicialmente em repouso, rola sem deslizar para baixo em um plano inclinado de comprimento L e altura h. O momento de inércia do cilindro em relação ao centro de massa é I=MR^2/2. (as respostas devem ser dadas em termos de M, R, L, h e g).
Encontre a aceleração do centro de massa.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cilindro sólido de massa $ M $ e raio $ R $ rolando sem deslizar por um plano inclinado com comprimento $ L $ e altura $ h $. Queremos descobrir qual é a aceleração do centro de massa desse cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e cinemática.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar o ângulo de inclinação do plano ($ \theta $) com a altura e o comprimento do plano. Sabemos que:
theta
Isso vai nos ajudar a expressar a força gravitacional que está fazendo o cilindro rolar para baixo.

Passo 3

Agora, vamos pensar nas forças atuantes no cilindro. Como ele está rolando sem deslizar, temos duas componentes principais: a força gravitacional que puxa o cilindro para baixo e a força de atrito que impede o deslizamento, permitindo apenas a rotação.
Para objetos rolando sem deslizar, a aceleração $ a $ do centro de massa é dada por:
a
Onde:
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ I $ é o momento de inércia do cilindro.

Passo 4

Dado que o momento de inércia do cilindro é $ I = \frac{M R^2}{2} $, vamos substituir esse valor na fórmula:
I = M R^22

Passo 5

Agora, vamos substituir $ \sin(\theta) $ pela relação que encontramos no Passo 2:
sin(theta)

Resposta

A aceleração do centro de massa do cilindro é $ a = \frac{2 g h}{3 L} $.

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