OBS: JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Um cilindro sólido de massa
e raio
inicialmente em repouso, rola sem deslizar para baixo em um plano inclinado de comprimento
e altura
. O momento de inércia do cilindro em relação ao centro de massa é
. (as respostas devem ser dadas em termos de
,
e
).
Encontre a aceleração do centro de massa.
Um cilindro sólido de massa
Encontre a aceleração do centro de massa.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um cilindro sólido de massa $ M $ e raio $ R $ rolando sem deslizar por um plano inclinado com comprimento $ L $ e altura $ h $. Queremos descobrir qual é a aceleração do centro de massa desse cilindro. Para isso, vamos usar conceitos de dinâmica rotacional e cinemática.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o ângulo de inclinação do plano ($ \theta $) com a altura e o comprimento do plano. Sabemos que:
Isso vai nos ajudar a expressar a força gravitacional que está fazendo o cilindro rolar para baixo.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas forças atuantes no cilindro. Como ele está rolando sem deslizar, temos duas componentes principais: a força gravitacional que puxa o cilindro para baixo e a força de atrito que impede o deslizamento, permitindo apenas a rotação.
Para objetos rolando sem deslizar, a aceleração $ a $ do centro de massa é dada por:
Onde:
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ I $ é o momento de inércia do cilindro.
Passo 4
Dado que o momento de inércia do cilindro é $ I = \frac{M R^2}{2} $, vamos substituir esse valor na fórmula:
Passo 5
Agora, vamos substituir $ \sin(\theta) $ pela relação que encontramos no Passo 2:
Resposta
A aceleração do centro de massa do cilindro é $ a = \frac{2 g h}{3 L} $.