OBS: JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Demonstre a lei fundamental da dinâmica das rotações para um sistema de partículas:
.
Demonstre a lei fundamental da dinâmica das rotações para um sistema de partículas:
Passo 1
Beleza, o exercício pede para mostrar que, para um sistema de partículas, a derivada do momento angular total
em relação ao tempo é igual ao torque (ou momento de força) externo
.
Conteúdo: dinâmica de rotações (momento angular e torque) para várias particulas.
Vamos precisar de:
Conteúdo: dinâmica de rotações (momento angular e torque) para várias particulas.
Vamos precisar de:
- Definir o momento angular total
, onde . - Derivar isso no tempo usando regra do produto vetorial.
- Separar forças em internas e externas e mostrar que as internas não contribuem ao torque total.
Passo 2
Primeiro escrevemos
Agora derivamos:
Pela regra do produto vetorial,
Passo 3
Sabendo que
e
, o primeiro termo vira
pois qualquer vetor cruz ele mesmo dá zero. Então só sobra
Passo 4
Mas
é a força total sobre a partícula
, ou seja
Logo
Passo 5
Agora mostramos que o segundo somatório (forças internas) vale zero. Pelas leis de Newton:
-
. - Essas forças agem ao longo da linha que une
e , ou seja .
Logo, para cada par,
Assim todas as internas se cancelam.
Passo 6
A única contribuição restante é das forças externas:
Resposta
Portanto, demonstramos que para um sistema de partículas