OBS: JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Demonstre a lei fundamental da dinâmica das rotações para um sistema de partículas: d ld t=t^ ext .

Passo 1

Beleza, o exercício pede para mostrar que, para um sistema de partículas, a derivada do momento angular total vec l em relação ao tempo é igual ao torque (ou momento de força) externo vec t^rm ext.
Conteúdo: dinâmica de rotações (momento angular e torque) para várias particulas.
Vamos precisar de:
  1. Definir o momento angular total vec l=sumi vec ritimesvec pi, onde vec pi=mivec vi.
  2. Derivar isso no tempo usando regra do produto vetorial.
  3. Separar forças em internas e externas e mostrar que as internas não contribuem ao torque total.

Passo 2

Primeiro escrevemos
vec l=sumi vec ritimes vec picom vec pi=mivec vi
Agora derivamos:
dvec ldt=sumiddtl(vec ritimesvec pir)
Pela regra do produto vetorial,
ddt(vec ritimesvec pi)=dvec ridttimesvec pi+vec ritimesdvec pidt

Passo 3

Sabendo que dvec ridt=vec vi e vec pi=mivec vi, o primeiro termo vira
vec vitimes(mivec vi)=mi(vec vitimesvec vi)=vec0
pois qualquer vetor cruz ele mesmo dá zero. Então só sobra
dvec ldt=sumi vec ritimes dvec pidt

Passo 4

Mas dvec pidt é a força total sobre a partícula i, ou seja
dvec pidt=vec Fi^rm ext+sumjneq ivec Fij^rm int
Logo
dvec ldt=sumi vec ritimesvec Fi^rm ext ;+;sumisumjneq ivec ritimesvec Fij^rm int

Passo 5

Agora mostramos que o segundo somatório (forças internas) vale zero. Pelas leis de Newton:
  1. vec Fij^rm int=-vec Fji^rm int.
  2. Essas forças agem ao longo da linha que une i e j, ou seja vec Fij^rm intparal<=l(vec ri-vec rj).
    Logo, para cada par (i,j),
vec ritimesvec Fij^rm int+vec rjtimesvec Fji^rm int =vec ritimesvec Fij^rm int-vec rjtimesvec Fij^rm int =(vec ri-vec rj)timesvec Fij^rm int=0
Assim todas as internas se cancelam.

Passo 6

A única contribuição restante é das forças externas:
dvec ldt=sumi vec ritimesvec Fi^rm extequiv vec t^rm ext

Resposta

Portanto, demonstramos que para um sistema de partículas
boxeddvec ldt=vec t^rm ext,$

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