OBS: JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Um cilindro sólido de massa M e raio R inicialmente em repouso, rola sem deslizar para baixo em um plano inclinado de comprimento L e altura h. O momento de inércia do cilindro em relação ao centro de massa é I=MR^2/2. (as respostas devem ser dadas em termos de M, R, L, h e g).
Pela conservação da energia mecânica, encontre a velocidade do centro de massa quando o cilindro alcança a base do plano.

Passo 1

Neste exercício, temos um cilindro sólido de massa $ M $ e raio $ R $ que, inicialmente em repouso, rola sem deslizar por um plano inclinado com comprimento $ L $ e altura $ h $. Queremos encontrar a velocidade do centro de massa do cilindro quando ele alcança a base do plano. Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da energia mecânica, que envolve conceitos como energia potencial gravitacional, energia cinética de translação e energia cinética de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a energia potencial gravitacional que o cilindro possui no início, quando está no topo do plano inclinado. Como ele está em repouso, toda a energia inicial é potencial. A energia potencial ($ E_{potencial} $) é dada por:
Epotencial
onde:
  • $ M $ é a massa do cilindro,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade,
  • $ h $ é a altura do plano inclinado.

Passo 3

À medida que o cilindro desce pelo plano, essa energia potencial se transforma em energia cinética. A energia cinética total ($ E_{cinética} $) do cilindro é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
Ecinética é
onde:
  • $ v $ é a velocidade do centro de massa do cilindro,
  • $ I $ é o momento de inércia do cilindro,
  • $ \omega $ é a velocidade angular.

Passo 4

Sabemos que o cilindro está rolando sem deslizar, o que significa que há uma relação entre a velocidade linear ($ v v \omega $):
omega
onde $ R $ é o raio do cilindro.

Passo 5

Substituindo $ \omega = \frac{v}{R} $ na equação da energia cinética:
omega = vR é

Passo 6

O momento de inércia ($ I $) do cilindro em relação ao seu centro de massa é dado por:
I
Substituindo esse valor na equação da energia cinética:
I = 12 M R^2 é
Simplificando:
Ecinética = 12 M v^2 + 12 ( 12 M R^2 ) ( vR )^2 é

Passo 7

Pela conservação da energia mecânica, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética final:
M g h = 34 M v^2
Podemos dividir os dois lados por $ M $ para simplificar:
M

Passo 8

Agora, resolvemos para $ v $:
v

Resposta

A velocidade do centro de massa do cilindro ao atingir a base do plano é:
v = 2raiz3 raizg h

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