OBS: JUSTIFIQUE TODAS AS SUAS RESPOSTAS
Um cilindro sólido de massa
e raio
inicialmente em repouso, rola sem deslizar para baixo em um plano inclinado de comprimento
e altura
. O momento de inércia do cilindro em relação ao centro de massa é
. (as respostas devem ser dadas em termos de
,
e
).
Pela conservação da energia mecânica, encontre a velocidade do centro de massa quando o cilindro alcança a base do plano.
Um cilindro sólido de massa
Pela conservação da energia mecânica, encontre a velocidade do centro de massa quando o cilindro alcança a base do plano.
Passo 1
Neste exercício, temos um cilindro sólido de massa $ M $ e raio $ R $ que, inicialmente em repouso, rola sem deslizar por um plano inclinado com comprimento $ L $ e altura $ h $. Queremos encontrar a velocidade do centro de massa do cilindro quando ele alcança a base do plano. Para resolver isso, vamos usar o princípio da conservação da energia mecânica, que envolve conceitos como energia potencial gravitacional, energia cinética de translação e energia cinética de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a energia potencial gravitacional que o cilindro possui no início, quando está no topo do plano inclinado. Como ele está em repouso, toda a energia inicial é potencial. A energia potencial ($ E_{potencial} $) é dada por:
onde:
- $ M $ é a massa do cilindro,
- $ g $ é a aceleração da gravidade,
- $ h $ é a altura do plano inclinado.
Passo 3
À medida que o cilindro desce pelo plano, essa energia potencial se transforma em energia cinética. A energia cinética total ($ E_{cinética} $) do cilindro é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação:
onde:
- $ v $ é a velocidade do centro de massa do cilindro,
- $ I $ é o momento de inércia do cilindro,
- $ \omega $ é a velocidade angular.
Passo 4
Sabemos que o cilindro está rolando sem deslizar, o que significa que há uma relação entre a velocidade linear ($ v
\omega $):
onde $ R $ é o raio do cilindro.
Passo 5
Substituindo $ \omega = \frac{v}{R} $ na equação da energia cinética:
Passo 6
O momento de inércia ($ I $) do cilindro em relação ao seu centro de massa é dado por:
Substituindo esse valor na equação da energia cinética:
Simplificando:
Passo 7
Pela conservação da energia mecânica, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética final:
Podemos dividir os dois lados por $ M $ para simplificar:
Passo 8
Agora, resolvemos para $ v $:
Resposta
A velocidade do centro de massa do cilindro ao atingir a base do plano é: