Considere uma partícula no espaço livre inicialmente preparada no pacote de ondas descrito pela função de onda:
Qual a probabilidade de que o seu momentum esteja no intervalo $(p, p+d p) ?
Passo 1
Enunciado e o que se pede (peguei tudo do enunciado):
- A função de onda inicial é
onde é um parâmetro real. - A pergunta: qual é a probabilidade de o momentum da partícula estar no intervalo
?
Informações relevantes dadas:
- Está-se pedindo a densidade de probabilidade no espaço de momento, ou seja, o módulo ao quadrado da transformada de Fourier de
. - Constantes físicas envolvidas: aparece implicitamente a constante de Planck reduzida
ao relacionar posição e momento via transformada de Fourier canônica.
Passo 2
O que significa calcular a probabilidade no intervalo
:
- A amplitude na representação do momentum é a transformada de Fourier da função de onda em
. Usarei a convenção padrão onde é a função de onda no espaço de momento. - A densidade de probabilidade de medir um momentum entre
e é
Explicação curta e intuitiva: a transformada de Fourier redistribui a informação de posição para momento; a normalização com
garante que
, ou seja, probabilidades somam 1 em ambas as representações.
Passo 3
Montando a integral a calcular:
- Substituindo
na expressão de obtemos - Precisamos avaliar a integral gaussiana
Passo 4
Avaliação da integral gaussiana por completar quadrado:
- Reescrevendo o integrando como exponencial de um quadrático em
: - Completar o quadrado:
- Portanto
- A constante fora do quadrado na exponencial é
Passo 5
Usar a integral gaussiana padrão:
- A integral padrão (para
) é - Aplicando isso à integral
: a translação por não altera o valor da integral (a integral converge e a mudança de variável está permitida), então
Passo 6
Montar
com os fatores de normalização e simplificar:
- Substituindo
em obtemos - Simplificando os fatores (mostro passo a passo):
e multiplicando por dá
Passo 7
Encontrar a densidade de probabilidade
:
- A densidade é o módulo ao quadrado de
: - Portanto a probabilidade de o momentum estar entre
e é
Breve interpretação didática: a distribuição de momentum é também gaussiana, centrada em
, com variância
. Isso é coerente com a transformada de Fourier de uma gaussiana em
, que produz uma gaussiana em
— estreita em
implica larga em
e vice-versa (princípio da incerteza).