Considere uma partícula no espaço livre inicialmente preparada no pacote de ondas descrito pela função de onda:
\psi(x, 0)=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1 / 4} e^{-\alpha x^{2} / 2}
Qual a probabilidade de que o seu momentum esteja no intervalo $(p, p+d p) ?

Passo 1

Enunciado e o que se pede (peguei tudo do enunciado):
  • A função de onda inicial é \psi(x,0)=\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4} e^{-\alpha x^{2}/2},onde \alpha>0 é um parâmetro real.
  • A pergunta: qual é a probabilidade de o momentum da partícula estar no intervalo (p,p+dp)?
Informações relevantes dadas:
  • Está-se pedindo a densidade de probabilidade no espaço de momento, ou seja, o módulo ao quadrado da transformada de Fourier de \psi(x,0).
  • Constantes físicas envolvidas: aparece implicitamente a constante de Planck reduzida \hbar ao relacionar posição e momento via transformada de Fourier canônica.

Passo 2

O que significa calcular a probabilidade no intervalo (p,p+dp):
  • A amplitude na representação do momentum é a transformada de Fourier da função de onda em x. Usarei a convenção padrão \varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ipx/\hbar}\,\psi(x,0)\,dx,onde \varphi(p) é a função de onda no espaço de momento.
  • A densidade de probabilidade de medir um momentum entre p e p+dp é P(p)\,dp = |\varphi(p)|^{2}\,dp.
Explicação curta e intuitiva: a transformada de Fourier redistribui a informação de posição para momento; a normalização com 1/\sqrt{2\pi\hbar} garante que \int |\psi|^{2}dx=\int |\varphi|^{2}dp, ou seja, probabilidades somam 1 em ambas as representações.

Passo 3

Montando a integral a calcular:
  • Substituindo \psi(x,0) na expressão de \varphi(p) obtemos \varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4}\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\Big(-\frac{\alpha x^{2}}{2}-\frac{i p x}{\hbar}\Big)\,dx.
  • Precisamos avaliar a integral gaussiana I=\int_{-\infty}^{\infty} \exp\!\Big(-\frac{\alpha x^{2}}{2}-\frac{i p x}{\hbar}\Big)\,dx.

Passo 4

Avaliação da integral gaussiana por completar quadrado:
  • Reescrevendo o integrando como exponencial de um quadrático em x: -\frac{\alpha x^{2}}{2}-\frac{i p x}{\hbar} = -\frac{\alpha}{2}\left(x^{2}+\frac{2 i p}{\alpha\hbar}x\right).
  • Completar o quadrado: x^{2}+\frac{2 i p}{\alpha\hbar}x = \left(x+\frac{i p}{\alpha\hbar}\right)^{2}-\left(\frac{i p}{\alpha\hbar}\right)^{2}.
  • Portanto -\frac{\alpha x^{2}}{2}-\frac{i p x}{\hbar} = -\frac{\alpha}{2}\left(x+\frac{i p}{\alpha\hbar}\right)^{2} +\frac{\alpha}{2}\left(\frac{i p}{\alpha\hbar}\right)^{2}.
  • A constante fora do quadrado na exponencial é \frac{\alpha}{2}\left(\frac{i p}{\alpha\hbar}\right)^{2} = -\frac{p^{2}}{2\alpha\hbar^{2}}.

Passo 5

Usar a integral gaussiana padrão:
  • A integral padrão (para \Re(a)>0) é \int_{-\infty}^{\infty} e^{-a x^{2}}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}.
  • Aplicando isso à integral I: a translação por -i p/(\alpha\hbar) não altera o valor da integral (a integral converge e a mudança de variável está permitida), então I=\sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}\; \exp\!\Big(-\frac{p^{2}}{2\alpha\hbar^{2}}\Big).

Passo 6

Montar \varphi(p) com os fatores de normalização e simplificar:
  • Substituindo I em \varphi(p) obtemos \varphi(p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}\left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4} \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}\; \exp\!\Big(-\frac{p^{2}}{2\alpha\hbar^{2}}\Big).
  • Simplificando os fatores (mostro passo a passo): \sqrt{\frac{2\pi}{\alpha}}\frac{1}{\sqrt{2\pi\hbar}}=\frac{1}{\sqrt{\alpha\hbar}},e multiplicando por \left(\dfrac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4} \varphi(p)=\frac{1}{\pi^{1/4}\alpha^{1/4}\hbar^{1/2}}\; \exp\!\Big(-\frac{p^{2}}{2\alpha\hbar^{2}}\Big).

Passo 7

Encontrar a densidade de probabilidade P(p)\,dp:
  • A densidade é o módulo ao quadrado de \varphi(p): |\varphi(p)|^{2}=\frac{1}{\pi^{1/2}\alpha^{1/2}\hbar}\; \exp\!\Big(-\frac{p^{2}}{\alpha\hbar^{2}}\Big).
  • Portanto a probabilidade de o momentum estar entre p e p+dp é P(p)\,dp = |\varphi(p)|^{2}\,dp =\frac{1}{\sqrt{\pi\alpha}\,\hbar}\, \exp\!\Big(-\frac{p^{2}}{\alpha\hbar^{2}}\Big)\,dp.
Breve interpretação didática: a distribuição de momentum é também gaussiana, centrada em p=0, com variância \sigma_{p}^{2}=\dfrac{\alpha\hbar^{2}}{2}. Isso é coerente com a transformada de Fourier de uma gaussiana em x, que produz uma gaussiana em p — estreita em x implica larga em p e vice-versa (princípio da incerteza).

Resposta

P(p)\,dp=\frac{1}{\sqrt{\pi\alpha}\,\hbar}\, \exp\!\Big(-\frac{p^{2}}{\alpha\hbar^{2}}\Big)\,dp

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