Considere uma partícula que esteja se movendo em um espaço bidimensional definido por V=0 para 0 e 0 e V=infty para qualquer outro valor de x e y.
(a) Escreva as funções de onda da partícula neste poço de potencial.
(b) Escreva uma expressão para as energias correspondentes.
© Quais são os conjuntos de números quânticos do estado degenerado de menor energia?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente está lidando com uma partícula que se move num espaço bidimensional onde o potencial é zero dentro de um quadrado de lado $ L $ (ou seja, $ 0 < x < L $ e $ 0 < y < L $) e infinito fora desse quadrado. Isso é conhecido como “poço de potencial infinito 2D”. Para resolver as partes (a), (b) e © desse exercício, vamos precisar usar a teoria das funções de onda na mecânica quântica, entender como as energias são quantizadas nesse sistema e identificar os números quânticos que descrevem os estados degenerados de menor energia.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Escrever as funções de onda da partícula nesse poço de potencial.
Em mecânica quântica, quando temos um poço de potencial infinito, a função de onda da partícula deve ser zero nas paredes do poço e fora dele. Dentro do poço, a solução para a função de onda em cada direção (x e y) se parece com funções senoidais. Como o sistema é bidimensional, a função de onda total será o produto das funções de onda nas duas direções.
Então, as funções de onda são dadas por:
psinx, ny(x, y) = raiz4L^2 sin(nx pi xL) sin(ny pi yL)
Onde:
  • $ n_x $ e $ n_y $ são os números quânticos principais nas direções x e y, respectivamente,
  • Eles assumem valores inteiros positivos (1, 2, 3, …).

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b): Escrever uma expressão para as energias correspondentes.
A energia de uma partícula em um poço de potencial infinito bidimensional é a soma das energias nas direções x e y. A energia em cada direção é proporcional ao quadrado do número quântico correspondente. A expressão geral para a energia é:
Enx, ny = pi^2 hbar^22mL^2 (nx^2 + ny^2)
Onde:
  • $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida,
  • $ m $ é a massa da partícula,
  • $ L $ é o tamanho do poço,
  • $ n_x $ e $ n_y $ são os números quânticos principais nas direções x e y.

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte ©: Quais são os conjuntos de números quânticos do estado degenerado de menor energia?
Um estado degenerado ocorre quando diferentes conjuntos de números quânticos resultam na mesma energia. Para encontrar os estados degenerados de menor energia, precisamos encontrar diferentes pares $ (n_x, n_y) $ que minimizam $ n_x^2 + n_y^2 $.
O menor valor possível para $ n_x $ e $ n_y $ é 1. Então, os primeiros candidatos são $ (1,1) $ e qualquer outro par que lhe dê a mesma soma $ n_x^2 + n_y^2 $.
Calculando:
(nx, ny)
O próximo par seria $ (2,0) $, mas como $ n_x $ e $ n_y $ devem ser pelo menos 1, o próximo seria $ (2,2) $, que dá:
nx^2 + ny^2
Mas isso é maior que 2. Portanto, o único estado de menor energia é $ (1,1) $, que não é degenerado. Porém, se considerarmos que os estados $ (n_x, n_y) $ e $ (n_y, n_x) $ são distintos, mas nesse caso ambos se referem ao mesmo estado $ (1,1) $.
Então, na verdade, não há degeneração no estado de menor energia nesse poço bidimensional.

Resposta

(a) As funções de onda da partícula no poço de potencial são:
psinx, ny(x, y) = raiz4L^2 sin(nx pi xL) sin(ny pi yL)
(b) As energias correspondentes são:
Enx, ny = pi^2 hbar^22mL^2 (nx^2 + ny^2)
© O estado de menor energia não é degenerado e corresponde aos números quânticos $ n_x = 1 $ e $ n_y = 1 $.

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