Uma partícula é submetida a um potencial dado por
para
e
. Fora desses limites,
. Escreva uma expressão para a função de onda desta partícula no estado fundamental.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula que está presa em uma “caixinha” tridimensional onde, dentro de certos limites nas direções x, y e z, o potencial $ V(x, y, z) $ é zero. Fora desses limites, o potencial é infinito, o que significa que a partícula não pode existir fora da “caixinha”. Nosso objetivo aqui é encontrar a expressão para a função de onda dessa partícula no estado fundamental, ou seja, o estado de menor energia possível.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que estamos lidando com o problema da partícula na caixa (ou partícula confinada), que é um modelo básico na mecânica quântica. Nesse modelo, a partícula está confinada em uma região onde o potencial é zero, e fora dela o potencial é infinito, impedindo que a partícula escape.
Passo 3
Vamos considerar que as dimensões da caixa são:
- Para o eixo x: $ -\frac{L}{2} < x < \frac{L}{2} $
- Para o eixo y: $ 0 < y < L $
- Para o eixo z: $ 0 < z < L $
Nesse espaço restrito, o potencial $ V(x, y, z) = 0 $, e fora desses limites, $ V = \infty $.
Passo 4
A equação de Schrödinger independente do tempo para essa situação é dada por:
Aqui, $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida, $ m $ é a massa da partícula, $ \nabla^2 $ é o operador laplaciano, $ \psi(x, y, z) $ é a função de onda, e $ E $ é a energia da partícula.
Passo 5
Como o potencial é zero dentro da caixa e infinito fora, a solução só precisa ser encontrada dentro dos limites da caixa. Fora dela, a função de onda $ \psi $ deve ser zero, já que a partícula não pode existir lá.
Passo 6
Vamos separar as variáveis na função de onda, assumindo que ela pode ser escrita como o produto de funções nas direções x, y e z:
Substituindo isso na equação de Schrödinger e dividindo ambos os lados por $ \psi(x, y, z) $, obtemos:
Aqui, cada termo depende apenas de uma das coordenadas, então cada termo deve ser igual a uma constante separada, que vamos chamar de $ E_x $, $ E_y $ e $ E_z $, respectivamente.
Passo 7
Isso nos dá três equações separadas:
Onde $ k_x^2 = \frac{2mE_x}{\hbar^2} $, $ k_y^2 = \frac{2mE_y}{\hbar^2} $, e $ k_z^2 = \frac{2mE_z}{\hbar^2} $.
Passo 8
As soluções dessas equações diferenciais são funções seno e cosseno. Contudo, devido às condições de contorno (a função de onda deve ser zero nas paredes da caixa), apenas as soluções de seno permanecem, pois o cosseno não satisfaz $ \psi = 0 $ em todas as paredes.
Então, temos:
Onde $ n_x $, $ n_y $ e $ n_z $ são números quânticos inteiros positivos, e $ A $, $ B $, $ C $ são constantes de normalização.
Passo 9
Para o estado fundamental, queremos a menor energia possível, o que ocorre quando $ n_x = n_y = n_z = 1 $.
Então, as funções de onda no estado fundamental são:
Passo 10
A função de onda total é o produto das funções nas três direções:
Podemos combinar as constantes de normalização $ A $, $ B $, e $ C $ em uma única constante $ N $, então:
Resposta
A função de onda no estado fundamental é dada por
onde $ N $ é a constante de normalização.