Considere que uma partícula executa um movimento regido pela equação:
\frac{d^{2} x}{d t^{2}}+0,04 \frac{d x}{d t}+3,17 x=0.
Sabe-se que em t=0 ela ocupada a posição x_{0}=0,52 \mathrm{~cm} e possui velocidade v_{0}=-2,88 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}.
Qual das funções horárias x(t) abaixo melhor descreve o movimento desta partícula?
Obs: funções x(t) dadas em centímetros.
Escolha uma opção: ◯





a. x(t)=\operatorname{Exp}[-0,02 t](-0,55 \operatorname{Exp}[1,78 t]+1,07 \operatorname{Exp}[-1,78 t])
b. x(t)=\operatorname{Exp}[-0,02 t](-0,81 \operatorname{Exp}[1,78 t]+0,26 \operatorname{Exp}[-1,78 t])
c. x(t)=\operatorname{Exp}[-0,02 t](-2,87 t+0,52)
d. x(t)=1,62 \operatorname{Exp}[-0,02 t] \cos (1,78 t+4,40)
e. x(t)=1,69 \operatorname{Exp}[-0,02 t] \cos (1,78 t+1,26)
f. x(t)=3,40 \cos (1,78 t+1,26)

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que a questão dá e o que pede):
  • A equação do movimento dada é \dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} + 0,04\,\dfrac{dx}{dt} + 3,17\,x = 0.
  • Condições iniciais: em t=0 temos x(0)=x_{0}=0,52\\ \mathrm{cm} e x'(0)=v_{0}=-2,88\\ \mathrm{cm/s}.
  • A pergunta: dentre as opções fornecidas (a) a (f), qual função horária x(t) melhor descreve o movimento da partícula?
Lista simples das informações relevantes:
  • Coeficientes da equação: termo de aceleração 1, termo de velocidade 0,04, termo propor. 3,17.
  • Situação inicial: posição 0,52 e velocidade -2,88 em t=0.
  • Devemos selecionar a opção que coincide com a solução da EDO com essas condições.

Passo 2

Como resolver esse tipo de equação (pequena aula intuitiva): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes
x'' + a x' + b x = 0,
procuramos soluções da forma x(t)=e^{rt}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}+a r + b = 0.
As raízes r determinam o tipo de movimento:
  • Se as raízes são reais distintas: combinações de exponenciais reais.
  • Se raíz dupla: termo polinomial vezes exponencial (amortecimento crítico).
  • Se raízes complexas conjugadas r=\alpha \pm i\omega: solução do tipo
x(t)=e^{\alpha t}\bigl(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\bigr),
que é um movimento oscilatório amortecido (decai com e^{\alpha t}). Aqui \alpha é a parte real (taxa de decaimento) e \omega é a frequência angular amortecida.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: equação característica
r^{2}+0,04 r + 3,17 = 0.
Calculamos o discriminante \Delta = (0,04)^{2}-4\cdot 1 \cdot 3,17.
\Delta = 0,0016 - 12,68 = -12,6784,
que é negativo, logo temos raízes complexas conjugadas. As raízes são
r = \frac{-0,04 \pm \sqrt{\Delta}}{2} = -0,02 \pm i\,\omega,
onde \omega = \sqrt{3,17 - (0,02)^{2}} = \sqrt{3,17 - 0,0004} = \sqrt{3,1696}.
Agora calculamos \omega numericamente (aproximação suficiente para comparar com as opções):
\omega \approx 1,78034\approx 1,78.

Passo 4

Assim a solução geral (forma trigonométrica) é
x(t)=e^{-0,02 t}\bigl(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\bigr),
onde A e B são constantes reais que determinamos pelas condições iniciais. Interpretação: e^{-0,02 t} é o fator de amortecimento (decai lentamente, pois 0,02 é pequeno) e a parte trigonométrica dá as oscilações com frequência \omega.

Passo 5

Aplicando a condição inicial x(0)=0,52:
x(0)=e^{0}\bigl(A\cos 0 + B\sin 0\bigr) = A = 0,52.
Portanto A=0,52.

Passo 6

Agora precisamos de B. Calculamos a derivada x'(t). Usando a regra do produto:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(e^{-0,02 t}(A\cos\omega t + B\sin\omega t)\bigr).
Vamos expandir passo a passo (sem pular etapas):
  • Derivada de e^{-0,02 t} é -0,02 e^{-0,02 t}.
  • Derivada de A\cos\omega t + B\sin\omega t é -A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t.
    Logo
x'(t)=e^{-0,02 t}\bigl(-0,02(A\cos\omega t + B\sin\omega t)\bigr) + e^{-0,02 t}\bigl(-A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t\bigr).
Agrupando:
x'(t)=e^{-0,02 t}\bigl(-0,02A\cos\omega t -0,02B\sin\omega t -A\omega\sin\omega t + B\omega\cos\omega t\bigr).
Agora avaliamos em t=0:
x'(0)= -0,02A + B\omega.
Substituímos A=0,52 e a condição x'(0)=v_{0}=-2,88:
-0,02\cdot 0,52 + B\omega = -2,88.
Calculando -0,02\cdot 0,52 = -0,0104. Então
B\omega = -2,88 + 0,0104 = -2,8696.
Portanto
B = \frac{-2,8696}{\omega}.

Passo 7

Substituímos \omega \approx 1,78034:
B \approx \frac{-2,8696}{1,78034} \approx -1,612.
Conclusão numérica: A\approx 0,52,\; B\approx -1,612.
Pequeno comentário de incentivo: até aqui fizemos as contas “na unha” — é exatamente o que você faria na prova: achar A direto e resolver para B com a equação da velocidade inicial.

Passo 8

Transformação para a forma com amplitude e fase (útil para comparar com opções em coseno com fase): escrevemos
x(t)=e^{-0,02 t}\bigl(A\cos\omega t + B\sin\omega t\bigr) = C\,e^{-0,02 t}\cos(\omega t + \varphi),
onde C>0 é a amplitude inicial (no envelope) e \varphi a fase. As relações entre A,B e C,\varphi decorrem da identidade trigonométrica
C\cos(\omega t + \varphi) = C(\cos\varphi\cos\omega t - \sin\varphi\sin\omega t).
Comparando coeficientes:
A = C\cos\varphi,\qquad B = -C\sin\varphi.
Assim
C = \sqrt{A^{2}+B^{2}},\qquad \varphi = \operatorname{atan2}\!\bigl(-B,\,A\bigr)
(onde \operatorname{atan2} dá o ângulo no quadrante correto).
Calculamos C:
C = \sqrt{0,52^{2} + (-1,612)^{2}} \approx \sqrt{0,2704 + 2,598} \approx \sqrt{2,8684} \approx 1,693 \approx 1,69.
Agora \varphi: usamos \cos\varphi = A/C e \sin\varphi = -B/C. Então
\cos\varphi \approx \frac{0,52}{1,693}\approx 0,3071,\qquad \sin\varphi \approx \frac{1,612}{1,693}\approx 0,9527.
Um ângulo com essas razões é
\varphi \approx 1,258\\ \text{rad} \approx 1,26.

Passo 9

Resumo numérico da solução encontrada:
x(t)\approx 1,693\,e^{-0,02 t}\cos(1,78034\,t + 1,258).
Arredondando para os números usados nas opções, isso corresponde a
x(t)\approx 1,69\,e^{-0,02 t}\cos(1,78\,t + 1,26).
Agora comparamos com as opções dadas:
  • Opção (e) é x(t)=1,69\,\operatorname{Exp}[-0,02 t]\cos(1,78 t+1,26), que coincide com a solução que encontramos (mesma forma, mesmos coeficientes dentro do arredondamento razoável).
  • As outras opções têm formas incompatíveis: (a) e (b) são combinações de exponenciais não-oscilatórias ou com crescimento, (c) é solução de amortecimento crítico linear, (d) tem amplitude/ fase diferentes, (f) não tem amortecimento.
Portanto a opção que melhor descreve o movimento é a opção (e).

Resposta

e. x(t)=1,69\,e^{-0,02 t}\cos(1,78 t+1,26)

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