Considere que uma partícula executa um movimento regido pela equação:
.
Sabe-se que em
ela ocupada a posição
e possui velocidade
.
Qual das funções horárias
abaixo melhor descreve o movimento desta partícula?
Obs: funções
dadas em centímetros.
Escolha uma opção: ◯
◯
◯
◯
◯
◯
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Sabe-se que em
Qual das funções horárias
◯
◯
◯
◯
◯
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que a questão dá e o que pede):
- A equação do movimento dada é
. - Condições iniciais: em
temos e . - A pergunta: dentre as opções fornecidas (a) a (f), qual função horária
melhor descreve o movimento da partícula?
Lista simples das informações relevantes:
- Coeficientes da equação: termo de aceleração 1, termo de velocidade
, termo propor. . - Situação inicial: posição
e velocidade em . - Devemos selecionar a opção que coincide com a solução da EDO com essas condições.
Passo 2
Como resolver esse tipo de equação (pequena aula intuitiva): para uma equação linear homogênea com coeficientes constantes
procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica
As raízes
determinam o tipo de movimento:
- Se as raízes são reais distintas: combinações de exponenciais reais.
- Se raíz dupla: termo polinomial vezes exponencial (amortecimento crítico).
- Se raízes complexas conjugadas
: solução do tipo
que é um movimento oscilatório amortecido (decai com
). Aqui
é a parte real (taxa de decaimento) e
é a frequência angular amortecida.
Passo 3
Aplicando ao nosso caso: equação característica
Calculamos o discriminante
.
que é negativo, logo temos raízes complexas conjugadas. As raízes são
onde
Agora calculamos
numericamente (aproximação suficiente para comparar com as opções):
Passo 4
Assim a solução geral (forma trigonométrica) é
onde
e
são constantes reais que determinamos pelas condições iniciais. Interpretação:
é o fator de amortecimento (decai lentamente, pois
é pequeno) e a parte trigonométrica dá as oscilações com frequência
.
Passo 5
Aplicando a condição inicial
:
Portanto
.
Passo 6
Agora precisamos de
. Calculamos a derivada
. Usando a regra do produto:
Vamos expandir passo a passo (sem pular etapas):
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Agrupando:
Agora avaliamos em
:
Substituímos
e a condição
:
Calculando
. Então
Portanto
Passo 7
Substituímos
:
Conclusão numérica:
Pequeno comentário de incentivo: até aqui fizemos as contas “na unha” — é exatamente o que você faria na prova: achar
direto e resolver para
com a equação da velocidade inicial.
Passo 8
Transformação para a forma com amplitude e fase (útil para comparar com opções em coseno com fase): escrevemos
onde
é a amplitude inicial (no envelope) e
a fase. As relações entre
e
decorrem da identidade trigonométrica
Comparando coeficientes:
Assim
(onde
dá o ângulo no quadrante correto).
Calculamos
:
Agora
: usamos
e
. Então
Um ângulo com essas razões é
Passo 9
Resumo numérico da solução encontrada:
Arredondando para os números usados nas opções, isso corresponde a
Agora comparamos com as opções dadas:
- Opção (e) é
, que coincide com a solução que encontramos (mesma forma, mesmos coeficientes dentro do arredondamento razoável). - As outras opções têm formas incompatíveis: (a) e (b) são combinações de exponenciais não-oscilatórias ou com crescimento, (c) é solução de amortecimento crítico linear, (d) tem amplitude/ fase diferentes, (f) não tem amortecimento.
Portanto a opção que melhor descreve o movimento é a opção (e).
Resposta
e.