Considere um sistema bloco+mola oscilando sem atrito, com período de 2 \pi \mathrm{~s}. No instante \mathrm{t}=0 o bloco ocupa a posição \mathrm{x}_{0}=-5,2 \mathrm{~cm}, com velocidade \mathrm{v}_{0}=-1,6 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}.
Qual a função que melhor descreve as posições ocupadas pelo bloco em cada instante?
Escolha uma opção:
◯ a. (5,44 \mathrm{~cm}) \cos (\mathrm{t}+2,84)
◯ b. (9,15 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}(t+2,84)
◯ c. (7,53 \mathrm{~cm}) \operatorname{sen}(2 \pi \mathrm{t})
◯ d. (5,44 \mathrm{~cm}) \cos (\mathrm{t})
◯ e. (7,53 \mathrm{~cm}) \cos (2 \pi t+5,69)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede a função posição do bloco:
T=2\pi\\ \text{s},
x(0)=x_0=-5,2\\ \text{cm},
v(0)=v_0=-1,6\\ \text{cm/s}.
A questão oferece cinco funções possíveis e pede para escolher qual descreve x(t) para todo instante t.

Passo 2

Modelo geral e relações fundamentais (mini-aula):
  • Para um sistema massa-mola sem atrito, o movimento é harmônico simples (MHS). Uma forma conveniente da solução é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento em módulo, positivo),
  • \omega é a pulsação (frequência angular, em rad/s),
  • \varphi é a fase inicial (ângulo em radianos que ajusta a posição em t=0).
  • A velocidade é a derivada de x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
  • A relação entre período T e pulsação \omega é
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Agora aplicamos isso ao problema.

Passo 3

Calcular \omega a partir do período:
\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{2\pi}=1\\ \text{rad/s}.
Então as fórmulas ficam
x(t)=A\cos(t+\varphi),
v(t)=-A\sin(t+\varphi).
Aplicando as condições iniciais em t=0:
x(0)=A\cos\varphi=-5,2,
v(0)=-A\sin\varphi=-1,6.
Da segunda equação obtemos
A\sin\varphi=1,6.

Passo 4

Determinar A usando que \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1.
Elevando ao quadrado e somando as duas equações:
(A\cos\varphi)^2+(A\sin\varphi)^2 = (-5,2)^2+(1,6)^2.
Isso dá
A^2(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)=5,2^2+1,6^2.
Como \cos^2\varphi+\sin^2\varphi=1,
A^2 = 5,2^2+1,6^2 = 27,04+2,56=29,6.
Portanto
A=\sqrt{29,6}\approx 5,44\\ \text{cm}.

Passo 5

Agora obtemos \cos\varphi e \sin\varphi:
\cos\varphi=\frac{x(0)}{A}=\frac{-5,2}{5,44}\approx -0,956,
\sin\varphi=\frac{1,6}{5,44}\approx 0,294.
Observando os sinais: \cos\varphi<0 e \sin\varphi>0, logo \varphi está no segundo quadrante. Para achar o valor em radianos calculamos o ângulo referência:
\arctan\!\bigg(\frac{|\sin\varphi|}{|\cos\varphi|}\bigg)=\arctan\!\bigg(\frac{0,294}{0,956}\bigg)=\arctan(0,307692)\approx 0,2989\\ \text{rad}.
Como estamos no segundo quadrante,
\varphi=\pi-0,2989\approx 2,8427\\ \text{rad}\approx 2,84.

Passo 6

Montando a solução com os valores encontrados:
x(t)=A\cos(t+\varphi)=(5,44\\ \mathrm{cm})\cos(t+2,84).
Comparando com as opções dadas, essa expressão corresponde à alternativa (a).

Resposta

(5,44\\ \mathrm{cm})\cos(t+2,84)

Exercícios relacionados