Quando a energia mecânica média de um oscilador fracamente amortecido se reduz de 17,5 \% do seu valor inicial, sua amplitude vale quantos por cento da amplitude inicial? obs: apresente resultado em %, aproximando para uma casa decimal.

Passo 1

O enunciado diz que a energia mecânica média de um oscilador fracamente amortecido ficou reduzida para 17{,}5\% do valor inicial. A pergunta é: qual é, em porcentagem da amplitude inicial, a nova amplitude quando a energia está em 17{,}5\% do inicial?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Energia final E_f é 17{,}5\% da energia inicial E_i, ou seja E_f = 0{,}175\,E_i.
  • Queremos a razão entre a amplitude final A_f e a amplitude inicial A_i, expressa em porcentagem.

Passo 2

Conceito importante: para um oscilador harmônico (mesmo fracamente amortecido), a energia mecânica média é proporcional ao quadrado da amplitude. Vou explicar por que e o que isso significa.
  • Para um oscilador harmônico simples sem amortecimento, a energia mecânica total máxima (quando toda a energia é potencial na amplitude) é
E = \tfrac{1}{2}kA^2,
onde k é a constante elástica (ou equivalente) e A é a amplitude. Aqui E representa a energia mecânica total associada à amplitude A.
  • Mesmo com amortecimento fraco, instantaneamente a energia varia, mas a escala entre energia média e amplitude continua sendo E \propto A^2. Ou seja, a energia média é proporcional ao quadrado da amplitude: se a amplitude cair à metade, a energia cai a um quarto.
  • Em símbolos, isso significa que existe alguma constante C (relacionada a k etc.) tal que
E = C A^2.
Portanto, a relação entre energia e amplitude é E \propto A^2.

Passo 3

Da proporcionalidade E \propto A^2 segue que a razão entre energias é o quadrado da razão entre amplitudes:
\frac{E_f}{E_i} = \left(\frac{A_f}{A_i}\right)^2.
Isolando a razão das amplitudes:
\frac{A_f}{A_i} = \sqrt{\frac{E_f}{E_i}}.
Essa fórmula é a peça-chave: para obter a fração da amplitude inicial, basta tirar a raiz quadrada da fração da energia inicial.

Passo 4

Agora aplicamos os números dados. O enunciado diz que \dfrac{E_f}{E_i} = 17{,}5\% = 0{,}175. Substituindo na fórmula:
\frac{A_f}{A_i} = \sqrt{0{,}175}.
Vamos calcular a raiz quadrada de 0{,}175. Uma aproximação numérica (bastante direta) é:
\sqrt{0{,}175} \approx 0{,}418330.
Expliquei rápido: \sqrt{0{,}16}=0{,}4 e \sqrt{0{,}18}\approx0{,}4243, então \sqrt{0{,}175} fica entre esses valores, aproximadamente 0{,}4183.

Passo 5

Converter a razão em porcentagem: multiplicamos por 100\%:
\frac{A_f}{A_i}\times 100\% \approx 0{,}418330\times100\% = 41{,}8330\%.
Arredondando para uma casa decimal, conforme pedido, obtemos 41{,}8\%.

Resposta

41{,}8\%

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