Quando a energia mecânica média de um oscilador fracamente amortecido se reduz de
do seu valor inicial, sua amplitude vale quantos por cento da amplitude inicial? obs: apresente resultado em %, aproximando para uma casa decimal.
Passo 1
O enunciado diz que a energia mecânica média de um oscilador fracamente amortecido ficou reduzida para
do valor inicial. A pergunta é: qual é, em porcentagem da amplitude inicial, a nova amplitude quando a energia está em
do inicial?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Energia final
é da energia inicial , ou seja . - Queremos a razão entre a amplitude final
e a amplitude inicial , expressa em porcentagem.
Passo 2
Conceito importante: para um oscilador harmônico (mesmo fracamente amortecido), a energia mecânica média é proporcional ao quadrado da amplitude. Vou explicar por que e o que isso significa.
- Para um oscilador harmônico simples sem amortecimento, a energia mecânica total máxima (quando toda a energia é potencial na amplitude) é
onde
é a constante elástica (ou equivalente) e
é a amplitude. Aqui
representa a energia mecânica total associada à amplitude
.
- Mesmo com amortecimento fraco, instantaneamente a energia varia, mas a escala entre energia média e amplitude continua sendo
. Ou seja, a energia média é proporcional ao quadrado da amplitude: se a amplitude cair à metade, a energia cai a um quarto. - Em símbolos, isso significa que existe alguma constante
(relacionada a etc.) tal que
Portanto, a relação entre energia e amplitude é
.
Passo 3
Da proporcionalidade
segue que a razão entre energias é o quadrado da razão entre amplitudes:
Isolando a razão das amplitudes:
Essa fórmula é a peça-chave: para obter a fração da amplitude inicial, basta tirar a raiz quadrada da fração da energia inicial.
Passo 4
Agora aplicamos os números dados. O enunciado diz que
. Substituindo na fórmula:
Vamos calcular a raiz quadrada de
. Uma aproximação numérica (bastante direta) é:
Expliquei rápido:
e
, então
fica entre esses valores, aproximadamente
.
Passo 5
Converter a razão em porcentagem: multiplicamos por
:
Arredondando para uma casa decimal, conforme pedido, obtemos
.