Considere uma partícula instável de massa M, em repouso, e assuma que ela decai em duas partículas de massa m.
a) Calcule a velocidade das partículas resultantes, em função de c, M e m no referencial de repouso de M.
b) Mostre que este decaimento só é possível se satisfeita a condição: M \geq 2 m. Explique porque essa condição é razoável.
c) Qualitativamente, qual a diferença entre a situação limite M=2 m e a condição mais geral M>2 m ?

Passo 1

O enunciado pede que, no referencial em que a partícula instável de massa M está em repouso, ela decai em duas partículas idênticas de massa m. Vamos usar conservação de energia e momento na Relatividade Restrita, ou seja, conservação do quadrivetor impulso-energia. No repouso inicial temos energia total E_{\rm in}=Mc^2 e momento zero. Depois do decaimento, cada partícula tem energia E=\gamma m c^2 e momento \gamma m v, movendo-se em sentidos opostos para que o momento total seja zero.

Passo 2

Pela conservação de energia:
Mc^2 \;=\; 2\,\gamma m c^2
Logo
\gamma \;=\;\frac{M}{2m}.
Lembrando que \gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}, invertendo,
\frac{1}{\gamma^2} =\;1-\frac{v^2}{c^2} \quad\Longrightarrow\quad 1-\frac{v^2}{c^2} =\;\Bigl(\frac{2m}{M}\Bigr)^{2}
Portanto a velocidade de cada partícula é
v =\;c\,\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}} =\;c\,\sqrt{1-\Bigl(\frac{2m}{M}\Bigr)^{2}}.

Passo 3

Como \gamma\ge1, da expressão \gamma=M/(2m) segue a condição
\frac{M}{2m}\;\ge\;1 \quad\Longrightarrow\quad M\;\ge\;2m.
Fisicamente, isso significa que a massa-energia inicial Mc^2 deve ser pelo menos igual à soma das massas de repouso finais 2\,m c^2. Se M<2m, não haveria energia suficiente para criar duas partículas de massa m.

Passo 4

Na situação limite M=2m temos \gamma=1, logo v=0: as partículas finais seriam geradas em repouso, todo o conteúdo da energia inicial seria só massa de repouso. Para M>2m sobra energia cinética, de modo que as partículas se afastam com v>0.

Resposta

a) \displaystyle v = c\,\sqrt{1 - \bigl(\tfrac{2m}{M}\bigr)^{2}}.
b) O decaimento exige M \ge 2m, pois só assim a energia Mc^2 cobre a criação de duas massas m.
c) Se M=2m, as partículas saem em repouso v=0; se M>2m, há energia cinética residual e elas se afastam com v>0.

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