Considere uma partícula instável de massa M, em repouso, e assuma que ela decai em duas partículas de massa m.
a) Calcule a velocidade das partículas resultantes, em função de c, M e m no referencial de repouso de M.
b) Mostre que este decaimento só é possível se satisfeita a condição: M \geq 2 m. Explique porque essa condição é razoável.
c) Qualitativamente, qual a diferença entre a situação limite M=2 m e a condição mais geral M>2 m ?

Passo 1

O enunciado diz que uma partícula instável de massa M, em repouso, decai em duas partículas idênticas de massa m. Precisamos aplicar conservação de energia e de momento no referencial em que a partícula inicial está em repouso para achar a velocidade v das partículas filhas, depois extrair a condição para o decaimento ser fisicamente possível e comentar qualitativamente o caso limite.

Passo 2

Pela conservação de energia, a energia total inicial é
E_{\text{inicial}} = M c^2
e a energia total final, com duas partículas de energia E cada, é
E_{\text{final}} = 2E.
Logo
2E = M c^2 \quad\Longrightarrow\quad E = \frac{M c^2}{2}.

Passo 3

Cada partícula filha satisfaz a relação de dispersão relativística
E^2 = (p c)^2 + (m c^2)^2,
onde p é o módulo do momento de cada uma. Substituindo E = Mc^2/2 obtemos
p = \frac{1}{c}\sqrt{E^2 - m^2c^4} = \frac{1}{c}\sqrt{\Bigl(\frac{M c^2}{2}\Bigr)^2 - m^2c^4} = \frac{c}{2}\sqrt{M^2 - 4m^2}.
A velocidade é dada por
v = \frac{p c^2}{E} = \frac{\bigl(\tfrac{c}{2}\sqrt{M^2 - 4m^2}\bigr)\,c^2}{\tfrac{M c^2}{2}} = c\,\sqrt{1 - \frac{4m^2}{M^2}}.

Passo 4

Para que v seja real, o argumento da raiz deve ser não negativo:
1 - \frac{4m^2}{M^2} \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad M^2 \ge 4m^2 \quad\Longrightarrow\quad M \ge 2m.
Fisicamente isso significa que a energia-massa inicial M c^2 deve ser ao menos igual à soma das massas de repouso das duas partículas filhas, 2m c^2, para que sobrem recursos energéticos para produzir os repousos.

Passo 5

Quando M = 2m, a velocidade calculada é
v = c\,\sqrt{1 - \frac{4m^2}{(2m)^2}} = 0,
isto é, as partículas filhas saem “paradas” no referencial do decaimento (decrescimento no limiar de energia). Se M > 2m, sobra energia cinética para as filhas, gerando v>0.

Resposta

a)
v = c\,\sqrt{1 - \frac{4m^2}{M^2}}.
b) O decaimento só ocorre se
M \ge 2m,
pois é preciso que a energia-massa inicial seja suficiente para criar as duas massas de repouso.
c) No caso limite M=2m as partículas filhas são geradas com v=0 (sem energia cinética), enquanto para M>2m elas têm velocidade positiva e, portanto, energia cinética.

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