Considere uma partícula instável de massa M, em repouso no referencial S , e assuma que ela decai em duas partículas de massas m_{1}>0 e m_{2}=0. A partícula de massa m_{2} se move com a velocidade da luz e seu tetravetor energia-momento é dado por Q=\frac{E_{2}}{c}(1, \hat{x}), onde \hat{x} é o vetor unitário na direção x (escolhemos orientar o eixo dos x na mesma direção da velocidade desta partícula). Qual a velocidade da partícula de massa m_{1}, no referencial S , em termos de M, m_{1} e c ?

Passo 1

O enunciado trata de um decaimento de uma partícula de massa (M) em repouso no referencial S em duas filhas: uma com massa (m_{1}>0) e outra sem massa (m_{2}=0). A partícula sem massa sai na direção +x com tetravetor energia-momento
Q = \frac{E_{2}}{c}\,(1,\hat x)\,.
Queremos achar a velocidade da partícula de massa (m_{1}) em S. Para isso vamos usar conservação do quadrivetor energia-momento e a relação relativística de dispersão para a partícula massiva.

Passo 2

Escrevemos os quatro-momentos antes e depois do decaimento:
— Inicial:
P = (Mc,\,\mathbf{0})\,,
pois a partícula de massa M está em repouso.
— Final: somatório de
p_{1} = \bigl(\tfrac{E_{1}}{c},\,p_{x},0,0\bigr) \quad\text{e}\quad Q = \bigl(\tfrac{E_{2}}{c},\,\tfrac{E_{2}}{c},0,0\bigr).
Conservação de momento espacial em x
0 = p_{x} + \frac{E_{2}}{c} \quad\Rightarrow\quad p_{x} = -\,\frac{E_{2}}{c}\,,
e conservação de energia dá
Mc^{2} = E_{1} + E_{2}\,.

Passo 3

A partícula de massa m_{1} satisfaz a relação de dispersão
E_{1}^{2} = p_{x}^{2}c^{2} + m_{1}^{2}c^{4} = E_{2}^{2} + m_{1}^{2}c^{4}.
Como E_{1}=Mc^{2}-E_{2}, fazemos
(Mc^{2}-E_{2})^{2} = E_{2}^{2} + m_{1}^{2}c^{4} \;\;\Longrightarrow\;\; M^{2}c^{4} - 2Mc^{2}E_{2} = m_{1}^{2}c^{4}
\Rightarrow E_{2} = \frac{M^{2} - m_{1}^{2}}{2M}\,c^{2}, \quad E_{1} = Mc^{2} - E_{2} = \frac{M^{2} + m_{1}^{2}}{2M}\,c^{2}.

Passo 4

O momento da partícula massiva é \lvert p_{x}\rvert = E_{2}/c e sua velocidade v satisfaz
p = \frac{E_{1}\,v}{c^{2}} \;\;\Longrightarrow\;\; v = \frac{p\,c^{2}}{E_{1}} = \frac{\bigl(E_{2}/c\bigr)\,c^{2}}{E_{1}} = \frac{E_{2}\,c}{E_{1}}.
Substituindo E_{2} e E_{1}:
v = \frac{\displaystyle\frac{(M^{2}-m_{1}^{2})}{2M}c^{2}\;c} {\displaystyle\frac{(M^{2}+m_{1}^{2})}{2M}c^{2}} = \frac{M^{2}-m_{1}^{2}}{M^{2}+m_{1}^{2}}\;c.

Resposta

\boxed{v = \frac{M^{2} - m_{1}^{2}}{M^{2} + m_{1}^{2}}\,c,\quad \text{no sentido oposto ao fóton de energia }E_{2}.}ó

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