onde \delta é uma constante de fase arbitrária, A é a amplitude, k é o número de onda e \omega é a frequência angular. Nestas condições, calcule:
(a) (1,5) A expressão da onda estacionária resultante y(x, t), escrita em termos de x, t, A, k, \omega e \delta.
(b) (\mathbf{1 , 0}) A posição x dos antinós da onda estacionária resultante, expressando seu resultado em termos de k, \delta e n, onde n=0,1,2,3,4, \ldots.
(c) (\mathbf{1 , 0}) A distância \Delta x entre um nó e um antinó consecutivos, expressando seu resultado em termos do comprimento de onda \lambda.
Passo 1
O enunciado descreve duas ondas progressivas idênticas em amplitude A, número de onda k e frequência angular \omega, que se propagam em sentidos opostos com uma diferença de fase \delta. Essas duas ondas se somam e formam uma onda estacionária y(x,t). Para resolver, vamos usar a identidade trigonométrica
y = y_{1}+y_{2} = A\Bigl[\sin(kx-\omega t+\delta)+\sin(kx+\omega t)\Bigr].
Use \alpha = kx-\omega t+\delta e \beta = kx+\omega t. Então
y = 2A\sin\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}2\bigr) = 2A\sin\!\bigl(kx + \tfrac{\delta}2\bigr)\cos\!\bigl(\omega t - \tfrac{\delta}2\bigr).
Passo 3
Na forma
y(x,t) = 2A\,\sin\!\bigl(kx + \tfrac{\delta}2\bigr)\, \cos\!\bigl(\omega t - \tfrac{\delta}2\bigr),
a amplitude instantânea em cada x é dado pelo fator \displaystyle 2A\sin\!\bigl(kx + \tfrac{\delta}2\bigr).
Os antinós ocorrem quando \bigl|\sin(kx + \tfrac{\delta}2)\bigr| = 1, isto é,
Sabe-se que o comprimento de onda é \lambda = \tfrac{2\pi}{k}. A distância entre um nó e um antinó consecutivo é \lambda/4, pois num quarto de período espacial passamos de zero de amplitude ao valor máximo.
Resposta
(a) y(x,t) = 2A\,\sin\!\bigl(kx + \tfrac{\delta}2\bigr)\, \cos\!\bigl(\omega t - \tfrac{\delta}2\bigr).