QUESTÃO 2: Considere uma onda estacionária oriunda da interferência das duas ondas progressivas dadas abaixo:
y_{1}(x, t)=A \operatorname{sen}(k x-\omega t+\delta) \text { e } y_{2}(x, t)=A \operatorname{sen}(k x+\omega t) \text {, }
onde \delta é uma constante de fase arbitrária, A é a amplitude, k é o número de onda e \omega é a frequência angular. Nestas condições, calcule:
(a) (1,5) A expressão da onda estacionária resultante y(x, t), escrita em termos de x, t, A, k, \omega e \delta.
(b) (\mathbf{1 , 0}) A posição x dos antinós da onda estacionária resultante, expressando seu resultado em termos de k, \delta e n, onde n=0,1,2,3,4, \ldots.
(c) (\mathbf{1 , 0}) A distância \Delta x entre um nó e um antinó consecutivos, expressando seu resultado em termos do comprimento de onda \lambda.

Passo 1

O enunciado descreve duas ondas progressivas idênticas em amplitude A, número de onda k e frequência angular \omega, que se propagam em sentidos opostos com uma diferença de fase \delta. Essas duas ondas se somam e formam uma onda estacionária y(x,t). Para resolver, vamos usar a identidade trigonométrica
\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}2\bigr)
e depois identificar as posições dos antinós (máximos de amplitude) e a distância entre um nó e um antinó consecutivo.

Passo 2

Aplicando a soma das duas ondas
y_{1} = A\sin(kx-\omega t+\delta),\quad y_{2} = A\sin(kx+\omega t),
temos
y = y_{1}+y_{2} = A\Bigl[\sin(kx-\omega t+\delta)+\sin(kx+\omega t)\Bigr].
Use \alpha = kx-\omega t+\delta e \beta = kx+\omega t. Então
y = 2A\sin\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}2\bigr)\cos\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}2\bigr) = 2A\sin\!\bigl(kx + \tfrac{\delta}2\bigr)\cos\!\bigl(\omega t - \tfrac{\delta}2\bigr).

Passo 3

Na forma
y(x,t) = 2A\,\sin\!\bigl(kx + \tfrac{\delta}2\bigr)\, \cos\!\bigl(\omega t - \tfrac{\delta}2\bigr),
a amplitude instantânea em cada x é dado pelo fator \displaystyle 2A\sin\!\bigl(kx + \tfrac{\delta}2\bigr).
Os antinós ocorrem quando \bigl|\sin(kx + \tfrac{\delta}2)\bigr| = 1, isto é,
kx + \tfrac{\delta}2 = \tfrac{\pi}{2} + n\pi, \quad n = 0,1,2,\dots
Desse modo,
x_n = \frac{\tfrac{\pi}{2} + n\pi - \tfrac{\delta}2}{k} = \frac{(2n+1)\,\pi - \delta}{2k}.

Passo 4

Sabe-se que o comprimento de onda é \lambda = \tfrac{2\pi}{k}. A distância entre um nó e um antinó consecutivo é \lambda/4, pois num quarto de período espacial passamos de zero de amplitude ao valor máximo.

Resposta

(a) y(x,t) = 2A\,\sin\!\bigl(kx + \tfrac{\delta}2\bigr)\, \cos\!\bigl(\omega t - \tfrac{\delta}2\bigr).
(b) x_n = \frac{(2n+1)\,\pi - \delta}{2k},\quad n=0,1,2,\dots
(c) \Delta x = \frac{\lambda}{4}.

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